内蒙古呼和浩特市2020届高三第一次质量普查调研考试（一模）理科数学试题（PDF版含答案）

6 如图是某空间几何体的三视图该几何体的表面积为 A B 2 C 3 D 4 7 已知函数 f x sin2x 2sin2x 1 给出下列四个结论函数 f x 的最小正周期是函数 f x 在区间 8 5 8 内是减函数函数 f x 的图象关于直线 x 3 8 对称函数 f x 的图象可由函数 y 2姨sin2x 的图象向左平移 4 个单位得到其中所有正确结论的编号是 A B C D 8 中国剩余定理又称孙子定理讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题已知 x 150 300 且 x 是整数则满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 的所有 x 的取值的和为 A 2020B 2305C 4610D 4675 9 已知 0 a b 1 则下列不等式一定成立的是 A a lna b lnb B lna lnb 1C alna blnbD aa bb 10 设 F 是双曲线 C x 2 a2 y 2 b2 1 a 0 b 0 的右焦点过点 F 向 C 的一条渐近线引垂线垂足为 A 交另一条渐近线于点 B 若 2AF FB 则双曲线 C 的离心率是 A 14姨 3 B 23姨 3 C 2姨D 3 2 11 表面积为 60 的球面上有四点 S A B C 且 ABC 是等边三角形球心 O 到平面 ABC 的距离为3姨若平面 SAB 平面 ABC 则三棱锥 S ABC 体积的最大值为 A 3 35姨B 18C 27D 9 95姨 12 已知 f x x2 x 0 ex x 0 嗓若 f2 x 1 a f x a 0 恰有两个实数根 x1 x2 则 x1 x2的取值范围是 A 1 B 1 2ln2 2 C 2 2ln2 D 2ln2 2 注意事项 1 本试卷分第卷选择题和第卷非选择题两部分答卷前考生务必将自己的姓名考生号座位号涂写在答题卡上本试卷满分 150 分考试时间 120 分钟 2 回答第卷时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号写在本试卷上无效 3 答第卷时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 4 考试结束将本试卷和答题卡一并交回第 I 卷一单项选择题本题共 12 小题每小题 5 分共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A x Z 0 x 3 B x x 1 x 2 0 则 A B A 0 1 2 B 1 2 C x 0 x 2 D x 1 x 3 2 若复数 z cos isin 则当 2 时复数 z 在复平面内对应的点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类问题的调查问卷统计图每个受访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个由此可知以下结论错误的是 A 回答该问卷的总人数不可能是 100 个 B 回答该问卷的受访者中选择设置分类明确的垃圾桶的人数最多 C 回答该问卷的受访者中选择学校团委会宣传的人数最少 D 回答该问卷的受访者中选择公益广告的人数比选择学校要求的少 8 个 4 已知 a 1 b 2 向量a b的夹角为 3 则a a b A 3姨 1B 1C 2D 3姨 1 5 记 Sn 为数列 an 嗓瑟的前 n 项和且 Sn 2an 1 则 S6的值为 A 665 729 B 486 665 C 665 243 D 65 9 2020 年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试理科数学高三年级理科数学质量普查调研试卷第 1 页共 4 页高三年级理科数学质量普查调研试卷第 2 页共 4 页 1 假设有 5 份血液样本其中只有 2 份样本为阳性若采用逐份检验方式求恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率现取其中 k k N 且 k 2 份血液样本记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为孜1 采用混合检验方式样本需要检验的总次数为孜2 当 p 1 1 e 4 姨时根据孜1和孜2的期望值大小讨论当 k 取何值时采用逐份检验方式好参考数据 ln2 0 69 ln3 1 10 ln5 1 61 e 2 72 e2 7 39 e3 20 09 20 12 分已知椭圆 C x2 a2 y2 b2 1 a b 0 的离心率为 3姨 2 F1 F2分别是椭圆的左右焦点点 P 为椭圆上一点 F1PF2的面积的最大值为3姨求椭圆 C 的方程过点 A 4 0 作关于 x 轴对称的两条不同直线 l1 l2 分别交椭圆于点 M x1 y1 N x2 y2 且 x1 x2 证明直线 MN 过定点并求 AMN 的面积 S 的取值范围 21 12 分已知函数 f x x a ln ax a 0 且 a 1 的零点是 x1 x2 设曲线 y f x 在零点处的切线斜率分别为 k1 k2 判断 k1 k2的单调性设 x0是 f x 的极值点求证 x1 x2 2x0 请考生在第 22 23 题中任选一题做答如果多做则按所做的第一题记分做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 10 分已知椭圆 C1的普通方程为 x2 4 y 2 9 1 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C2的极坐标方程为 4 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上且 A B C D 逆时针依次排列点 A 的极坐标为 4 6 写出曲线 C1的参数方程及点 B C D 的直角坐标设 P 为椭圆 C1上的任意一点求 PA 2 PB 2 PC 2 PD 2的最大值 23 10 分已知函数 f x 2x a 2 x 1 当 a 1 时解关于 x 的不等式 f x 6 已知 g x x 1 2 若对任意 x1 R 都存在 x2 R 使得 f x1 g x2 成立求实数a 的取值范围第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题 21 题为必考题每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共 4 小题每小题 5 分共 20 分把正确答案填在答题卡的相应位置 13 2x 1 x2 6的展开式中的常数项为 14 已知定义在 R 上的奇函数 f x 当 x 0 时 f x 2cosx sinx 则 f x 在点 2 1 蓸蔀处的切线方程为 15 若 10 件产品中包含 2 件废品今在其中任取两件则已知两件中有一件不是废品的条件下另一件是废品的概率为 16 已知抛物线方程 y2 4x F 为焦点 P 为抛物线准线上一点 Q 为线段 PF 与抛物线的交点定义 d P PF FQ 已知点 P 1 42姨则 d P 设点 P 1 t t 0 则 2d P PF 的值为三解答题本大题共 6 小题共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 12 分如图已知在 ABC 中 D 为 BC 上一点 AB 2AC cosB 25姨 5 若 BD AD 求 AD AC 的值若 AD 为 BAC 的角平分线且 BC 3姨求 ADC 的面积 18 12 分如图在矩形 ABCD 中 AB 4 AD 2 E 在 DC 边上且DE 1 将 ADE 沿 AE 折到 AD E 的位置使得平面 AD E 平面 ABCE 求证 AE BD 求二面角 D AB E 的平面角的余弦值 19 12 分检验中心为筛查某种疾病需要检验血液是否为阳性对 n n N 份血液样本有以下两种检验方式逐份检验需要检验 n 次混合检验即将其中 k k N 且 k 2 份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性这 k 份的血液全为阴性因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了如果检验结果为阳性为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性再对这 k 份再逐份检验此时这 k 份血液的检验次数总共为 k 1 次假设在接受检验的血液样本中每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的且每份样本是阳性结果的概率为 p 0 p 1 高三年级理科数学质量普查调研试卷第 3 页共 4 页高三年级理科数学质量普查调研试卷第 4 页共 4 页 2 20202020 年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试理科数学参考答案理科数学参考答案一选择题一选择题 ABDCA CCBAB CDABDCA CCBAB CD 二填空题二填空题 13 13 24240 0 14 14 15 15 16 4 16 4 2 2 三解答题三解答题本大题共6 小题共70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分解 cosB 2 5 5 可得 sinB 1 cos2 5 5 1 分 AC sinB AB sinC AB 2AC sinC sinB AB AC 2 3 分 BD AD 可得 ADC 2 B sin ADC sin2B 2sinBcosB 4 分在 ADC 中 AD AC sinC sin ADC 2sinB 2sinBcosB 1 cosB 5 2 6 分设 AC 则 AB 2 在 ABC 中由余弦定理可得 cosB 3 2 2 2 2 4 3 解得 t 15 3 或 t 15 5 8 分因为 BD 2DC 所以 DC 3 3 又由 1 知 sinC sinB AB AC 2 1 所以 sinC 2sinB 2 5 5 由 1 知当 AC 15 3 时 ACD 1 2 AC CD sinC 1 3 10 分当 AC 15 5 时 ACD 1 2 AC CD sinC 1 5 11 分综上 ACD 的面积为 1 3 或 1 5 12 分 18 本小题满分 12 分证明连接 BD交 AE 于点 O 依题意得AB DA AD DE 2 Rt ABD Rt DAE 3 2 分 DAE ABD 得 AOD 90 则AE BD 即OB AE OD AE 又 OD OB O OB OD 平面OBD AE 平面OBD 3 分又BD 平面OBD AE BD 6 分平面AD 平面 ABCE 平面AD 平面ABCE AE OD 平面AD AE OD 所以OD 平面 ABCE 以 O为原点建立空间直角坐标系O xyz如图所示在Rt AD 中求得OD 2 5 OA 4 5 OE 1 5 A 4 5 0 0 B 0 8 5 0 D 0 0 2 5 8 分则AB 4 5 8 5 0 BD 0 8 5 2 5 设平面ABD 的法向量n1 x y z 则 n1 AB 0 n1 BD 0 即 4 5 x 8 5 y 0 8 5 y 2 5 z 0 解得 x 2y z 4y 令y 1 得n1 2 1 4 10 分显然平面 ABE 的一个法向量为n2 0 0 1 n1 n2 n 1 n2 4 1 21 4 21 21 11 分显然二面角D AB E的平面角为锐角二面角D AB E的平面角的余弦值为4 21 21 12 分 19 本小题满分 12 分解 1 记恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件 1 分则 2 2 5 2 1 10 4 分 2 1 2的取值为 1 1 5 分计算 2 1 1 2 1 1 1 6 分所以 2 1 1 1 1 1 1 7 分又 1 1 4 2 1 4 所以 1 4 8 分即 4 0 4 当 0 4 时 0 在 0 4 上单调递增当 4 时 0 9 9 9 4 2 3 9 4 0 11 分所以 k 的取值大于等于 9 时采用逐份检验方式好 12 分 20 本小题满分 12 分解 1 由题意 3 2 设 P 则 1P