2019-2020学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 1.已知集合A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则 ( ) A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2} 【答案】C 【解析】由题意,集合,利用集合的交集运算,即可求解. 【详解】 由题意,集合,,则,故选C. 【点睛】 本题主要考查了集合的交集的运算,其中解答中正确求解集合A,再根据集合的交集的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 2.函数的定义域是 ( ) A.B.C.D. 【答案】C 【解析】分析根据定义域求法即可. 详解由题可得 且,故选C. 点睛考查函数的定义域,属于基础题. 3.设集合若则的范围是( ) A.B. C.D. 【答案】A 【解析】试题分析由可知满足的数x都在内,所以 【考点】集合的子集关系 4.已知,则 A.B.C.D. 【答案】C 【解析】设,可求得,从而可得结果. 【详解】 设, 因为, 所以,, 可得,, 故选C. 【点睛】 本题主要考查函数的解析式,属于中档题 . 求函数的解析式常见题型有以下几种(1)根据实际应用求函数解析式;
(2)换元法求函数解析式,利用换元法一定要注意,换元后参数的范围;
(3)待定系数法求函数解析式,这种方法适合求已知函数名称的函数解析式;
(4)消元法求函数解析式,这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 5.已知幂函数过点,则( ) A.B.C.D. 【答案】B 【解析】设幂函数,∵过点,∴ , ∴ ,故选B. 6.若函数在上是单调函数,则实数的取值范围为( ) A.B.C.或D. 【答案】C 【解析】得出函数的对称轴方程,对该函数的对称轴与区间分三种位置进行讨论,分析函数在区间上的单调性,可得出实数的取值范围. 【详解】 二次函数的图象开口向上,对称轴为直线. ①当时,函数在区间上单调递增,合乎题意;

②当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时,函数在区间上不单调,不合乎题意;

③当时,函数在区间上单调递减,合乎题意. 综上所述,实数的取值范围是或,故选C. 【点睛】 本题考查二次函数的单调性与参数,解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴,再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系,考查分类讨论思想的应用,属于中等题. 7.若集合中只有一个元素,则( ) A.4B.2C.0D.0或4 【答案】A 【解析】 【考点】该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系. 8.设 是奇函数,且在内是单调递增的,又,则的解集是( ) A.B. C.D. 【答案】C 【解析】先由是奇函数,以及在内单调递增,得到在内也单调递增,,作出函数的大致图像,由得到或,结合图像,即可求出结果. 【详解】 ∵是奇函数,且在内单调递增,∴在内也单调递增. 又,∴, 作出的大致图像如下 又或, 由图像可得或;

∴的解集是. 故选C. 【点睛】 本题主要考查由函数的单调性解不等式,熟记函数的基本性质即可,属于常考题型. 9.若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是 A.B.C.D. 【答案】C 【解析】根据二次函数图象可得的取值范围. 【详解】 因为当时,当时或,因此的取值范围是. 【点睛】 本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题. 10.的单调递增区间是( ) A.B.C.D. 【答案】C 【解析】利用复合函数单调性的判断原则“同增异减”可求得函数的单调区间,结合对数的真数大于0,即可求得整个函数的单调递增区间。

【详解】 根据复合函数单调性的判断原则,即求的单调递减区间,且 由二次函数的图象可知单调递减区间为x1 解不等式得或 综上可知,的单调递增区间为 即x∈ 所以选C 【点睛】 本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数的真数部分对x的特殊要求,属于基础题。

11.已知函数,不等式的解集是 A.B. C.D. 【答案】C 【解析】分类讨论x的符号,根据函数的解析式可得函数的单调性和奇偶性,列出不等式,求得x的范围. 【详解】 由题意,函数满足,故为偶函数. 当时,单调递增, 当时,单调递减, 故由不等式,故有, 即,求得, 故选C. 【点睛】 本题主要考查对数函数的性质,函数的单调性和奇偶性的应用,其中解答中熟练应用函数的奇偶性和初等函数的单调性,合理转化是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于中档题. 12.已知是定义在实数集上的奇函数,为非正的常数,且当时,.若存在实数,使得的定义域与值域都为,则实数的取值范围是() A.B.C.D. 【答案】B 【解析】由题意得出函数在上单调递减,结合题意得出,由题意得出,两式相加得出,可得出,从而可得出实数的取值范围. 【详解】 函数为上的奇函数,则,适合. 当且时,函数为减函数. 设,则,, 此时,,且该函数在上单调递增, 所以,函数在实数集上单调递减, 由题意可得,则点和点在函数的图象上,且这两点关于直线对称. 若,则这两点均为第二象限,都在直线的上方,不可能关于直线对称;

若,则这两点均为第四象限,都在直线的下方,不可能关于直线对称. 因此,. 由,得,两式相加得, 即,(舍去)或,则. 代入,得,,又,. 因此,实数的取值范围是,故选B. 【点睛】 本题考查函数单调性的应用,考查函数的定义域与值域问题,解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 二、填空题 13.若函数为偶函数,则的值为________. 【答案】1 【解析】根据二次函数对称轴为轴时,二次函数为偶函数列方程,解方程求得的值. 【详解】 由于函数为二次函数,故当其对称轴,即时,函数为偶函数. 故填. 【点睛】 本小题主要考查二次函数的性质,考查偶函数的对称性,属于基础题. 14.若,则=___. 【答案】. 【解析】试题分析. 【考点】对数的计算. 15.若函数满足对任意实数,都有成立,则实数的取值范围是__________________ 【答案】 【解析】由可得单调递增,则每一段函数都单调递增,且在分界点处也单调递增,即,解得范围即可 【详解】 根据题意,任意实数,都有成立,则单调递增,故分段函数的每一段单调递增,且分界点处单调递增,即,则,即 【点睛】 本题考查由不等式判断单调性,分段函数单调性问题,此类问题需注意不仅要使每一段函数单调递增,且分界点处也要单调递增。

16.已知函数,若关于x的方程有6个不同的实数解,且最小实数解为,则的值为______. 【答案】 【解析】画出函数大致图象,然后令,关于x的方程有6个不同的实数解,转化为有两个不同的根,再经过计算可得的值,即可得出结果. 【详解】 由题意,作出函数图象,如图所示 令,根据图象可知, 关于x的方程有6个不同的实数解, 可转化为关于t的方程有2个不同的实数解, 且必有一个解为0,另一个解大于0,所以. 则,解为,. 所以,即. 所以. 故答案为. 【点睛】 本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中作出函数的图象,把关于x的方程有6个不同的实数解,转化为关于t的方程有2个不同的实数解,结合函数的图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想的应用,以及换元法的应用,结合图形进行计算的能力,本题属中档题. 三、解答题 17.已知不等式的解集为A,不等式的解集为B. (1)求A∩B;

(2)若不等式的解集为A∩B,求的值。

【答案】(1)A∩B{x|-1<x<2};
(2) . 【解析】试题分析(1)将集合A,B进行化简,再根据集合的交集运算即可求得结果;
(2)由题意知-1,2为方程的两根,代入方程联立方程组,即可解得结果. 试题解析 解(1)A{x|-1<x<3}, B{x|-3<x<2}, ∴ (2)-1,2为方程x2+ax+b0的两根 ∴ ∴. 【考点】集合的运算;
方程与不等式的综合应用. 18.已知定义在R上的函数是奇函数,且当时,, 求函数的表达式;

求方程的解集. 【答案】(1);
(2). 【解析】根据是R上的奇函数得出,可设,从而得出,即可得到的表达式;

根据的表达式,由得出关于x的方程,解方程即可求解. 【详解】 (1)根据题意,函数是奇函数,则, 当时,则,且当时,, 则, 所以函数的解析式为, (2)由(1)得 当时,令,即,解得或(舍去), 当时,方程恒成立;

当时,令,即,解得或(舍去), 综上,方程的解集为. 【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式,以及函数解析式的应用,其中解答中熟记奇函数的定义,合理、准确运算是解答的关键,同时注意奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为是解答的一个易错点,着重考查了推理与计算能力,属于基础题. 19.设集合,. 若,求a的值;

若,求a的值. 【答案】(1)(2)或. 【解析】(1)根据,得到是方程的根,代入即可求解;

(2)由集合,根据,对集合B进行讨论,即可求出的值,得到答案. 【详解】 (1)由题意,因为,即是方程的根, 可得,即,解得;

(2)由题意,集合, 因为,可得 当时,则,解得;

当或时,则,解得, 此时满足题意;

当时,则,解得, 综上可得,或. 【点睛】 本题考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的应用,其中解答中熟练应用集合的包含函数,合理分类讨论求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于基础题. 20.已知定义在区间上的函数为奇函数. (1)求实数的值;

(2)判断并证明函数在区间上的单调性;

(3)解关于的不等式. 【答案】(1);
(2)在区间上是增函数,见解析;
(3) 【解析】(1)由函数是在区间上的奇函数,得到,即可求解;

(2)根据函数的单调性的定义,即可证得函数在区间上是增函数. (3)由为奇函数,得到,再由函数在区间上是增函数,得到不等式组,即可求解. 【详解】 (1)由题意,函数是在区间上的奇函数,所以, 即函数,经检验符合题意,所以实数的值. (2)设,则, 因为, 则, 所以,即, 所以函数在区间上是增函数. (3)因为,且为奇函数,所以. 又由函数在区间上是增函数, 所以,解得, 故关于的不等式的解集为. 【点睛】 本题主要考查了函数的基本性质的综合应用,其中解答中熟记函数的单调性的定义和判定方法,以及熟练应用函数的奇偶性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 21.已知函数. Ⅰ证明当变化,函数的图象恒经过定点;

Ⅱ当时,设,且,求(用表示);

Ⅲ在Ⅱ的条件下,是否存在正整数,使得不等式在区间上有解,若存在,求出的最大值,若不存在,请说明理由. 【答案】(Ⅰ);

(Ⅱ);
Ⅲ . 【解析】Ⅰ令2x-31得x2,即得定点的横坐标,代入函数解析式即得定点坐标;
Ⅱ先求出,再利用对数的运算运算法则求;
Ⅲ化为在区间上有解,令,求得解. 【详解】 Ⅰ当时,不论取何值,都有 故函数的图象恒经过定点;

Ⅱ当时,, , . Ⅲ在Ⅱ的条件下,不等式化为 即在区间上有解;

令,则, ,, , 又是正整数,故的最大值为. 【点