高三数学导数的定义、导数与切线、导数与单调区间人教版,知识精讲(通用)

高三数学高三数学导数的定义 导数与切线 导数与单调区间导数的定义 导数与切线 导数与单调区间人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 导数的定义 导数与切线 导数与单调区间 二 重点 难点 1 定义 x xfxxf x y xf xx limlim 00 00 0 2 常见函数的导数 1 cy 0 y 2 n xy 1 n nxy 3 xy a log e x y a log 1 4 x ay aay x ln 5 xysin xycos 6 xycos xysin 7 xytan x y 2 cos 1 8 xycot x y 2 sin 1 3 运算 1 xgxfxgxf 2 xgxfxgxfxgxf 3 xfcxfc 4 1 2 xfxf xf 0 xf 5 2 xg xgxfxgxf xg xf 0 xg 4 复合函数的系数 ufy xgu xgfxFy 其中 xgufxF xgu 5 切线 P 在上 以 P 为切点 为切线 0 x 0 y xfy xf l 000 xxxfyy 6 单调区间 1 在区间 内可导 xfy ab 且 总有 xab x f 0 为的增区间ab xfy 2 在区间 内可导 xfy ab 且 总有 bax 0 x f 为的减区间ab xfy 典型例题典型例题 例 1 用定义求函数的导函数xy 解 解 xxxy limlim 00 xxxx x x xxx y xx x2 1 例 2 在处可导 且 求 xfy 0 xx 1 2 lim 00 0 x xfxxf x 0 x f 解 解 x xfxxf x xfxxf xx 2 2 2lim 2 lim 00 02 00 0 1 2 0 x f 2 1 0 x f 例 3 求证 在处连续且不可导 xxfy 0 0 x 证明 证明 0 0 xx xx xf 0 lim lim 00 xfxfxf xx 1 0 lim lim 00 x x x xf xx 1lim lim 00 x x x xf xx 不存在 不可导 x xf x lim 0 例 4 求下列函数的导数 1 x xx xfy 23 2 2 2 1 x x xfy 3 x x xfy cos1 sin1 4 xxxfy 3 sin3sin 5 43 13 52 xxxfy 6 11 4 xx xfy 7 x xy sin 8 x xy 解 解 1 2 1 2 1 2 3 23 xxxy 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 xxxy 2 22 2 22 2 1 1 1 2 1 x x x xxx y 3 2 cos1 1cossin x xx y 4 xxxxycossin33cos 223 5 3342 52 13 12 13 52 6 xxxxy 97 52 13 6 23 xxx 6 11 2 xxy 12 1 12 1 2 xx y 1 1 1 1 xx 7 xxx eey x lnsinln sin sin 1 ln cos ln sin lnsinlnsin x x xxexxey xxxx 8 xxylnln 1ln 1 xy y 1 ln xxy x 例 5 求曲线在点 P 2 4 处的切线方程 2 xy 解 解 P 2 4 在上 2 xy xy2 4 k 切 l 2 44 xy044 yx 例 6 曲线在点 A 处的切线的斜率为 15 求切线方程 2632 2 xxy 解 解 设切点为 A 0 x 0 y34 xy1534 0 x 3 0 x1 0 y 切 l 3 151 xy04415 yx 例 7 过点 P 2 0 且与曲线相切的直线方程 x y 1 解 解 2 1 x y P 2 0 不在上 设切点 A x y 1 0 x 0 y 切 l 1 0 2 0 0 xx x yy 1 1 2 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 y x x x y x y 切 l 1 1 xy02 yx 例 8 与交点处的两条切线的夹角 2 xy 1 xy 解 解 1 1 1 1 2 y x x y x y 3 1 2 x y 2 1 x y 2 1 k1 2 k 3 1 21 12 tan 3 1 arctan 例 9 求过 P 2 与曲线相切的切线方程2 3 3xxy 解 解 设切点 A ab 2 33xy 切 l 33 2 axaby 2 33 2 3 2 3 aab aab 043 23 aa0 2 1 2 aa 1 a2 b 切 l2 y 2 a2 b 切 l0169 yx 例 10 求曲线 C1 曲线 C2 的公切线 2 xy 2 2 xy 解 解 公切线 与 C1 C2切点为 A B la 2 ab 2 2 b 1 l 2 2 axaay 2 l 2 2 2 2 bxbby 为同一条直线 1 l 2 l 1 l 2 2aaxy 2 l4 2 2 2 bxby 即 或 0 2 4 2 22 22 b a ba ba 2 0 b a 两公切线 44 xy0 y 例 11 求下列函数的单增区间 1 52 2 1 23 xxxy 2 x x y 1 2 3 x x k y 2 0 k 4 xxyln2 2 解 解 1 023 2 xxy 1 3 2 x 1 3 2 2 0 1 2 2 x x y 0 0 x 0 0 3 01 2 2 x k y kkx 8 k k 4 0 141 4 2 x x x xy 定义域 0 2 1 x 例 12 证明不等式 1 0 x 1 2 1ln 2 22 x x xx x x 2 x x 2 sin 2 0 x 3 xxxx tansin 2 0 x 解 解 1 令 2 1ln 2 x xxxf x x x x xf 1 1 1 1 2 0 x 0 xf0 0 f 任取 恒成立 即 0 x0 0 fxf 2 1ln 2 x xx 令 1ln 1 2 2 x x x xxg xx xxx xg 1 1 1 4 244 1 2 22 2 2 1 4 2 x x 0 x 0 xg0 0 g 任取 恒成立 0 x0 0 gxg 1ln 1 2 2 x x x x 2 原式 2sin x x 令 x x xf sin 2 tan cos x xxx xf 2 0 x0 x f 2 fxf 即 2sin x x x x 2 sin 3 令xxxxfsin2tan xxxfcos2sec 2 x xx 2 32 cos coscos21 2 2 cos sin coscos1 x xxx 2 0 x0 xf 2 0 x 0 xf 2 0 x0 0 fxf xxxxsintan 例 13 函数为增函数 求的取值范围 1 2 23 mxmxxxfym 解 解 223 2 mxxxf 0244 2 m66 m 例 14 求证方程在区间 2 3 有且仅有一个实根 1lg xx 解 解 设1lg xxxfy 2 3 时 xylglglg x 0y 04 0lg12lg2 2 f07 2lg13lg3 3 f 在 2 3 内有且仅有一个实根01lg xx 模拟试题模拟试题 1 已知 求函数的单调区间 Ra ax exxf 2 2 已知函数为 R 上减函数 求的取值范围 13 23 xxaxxfa 3 函数在区间 1 4 内为减区间 在区间 6 1 1 2 1 3 1 23 xaaxxxf 为增区间 求的范围 a 4 函数xbxaxxf3 23 已知过 A 0 16 作曲线的切线 求切线方程 xfy 5 时 求 xfy 1 x3 xf2 x f 1 9 lim 2 1 x xf x 6 关于的多项式函数 对有x xfy Rx 3 2 xxfxfxfxf 求的增区间 12 x xfy 试题答案试题答案 1 ax eaxxxf 2 2 1 若0 a 0 0 xfx 0 0 xfx 2 若0 a 02 2 axx 或 a x 2 0 x 0 2 xf a x 0 0 xfx 0 0 2 xf a x 3 若0 a 02 2 axx a x 2 0 0 2 0 0 0 xf a xxfx 0 2 xf a x 2 163 2 xaxxf 恒成立Rx 0 x f 01236 0 0 0 a aa 3 a 3 1 2 aaxxxf0 1 1 axx 1 1 x1 2 ax 1 若11 a2 a 在 1 1 xf 1 a 1 a 75 61 41 a a a 2 若11 a2 a 在 1 1 无解 xf 1 a 1 a 4 A 不在上xxy3 3 xfy 设切点为 P ab33 2 xy 切 l 33 2 axaby aab aab 3 0 1 316 3 2 aaaa33316 33 8 3 a2 a2 b 切 l0169 yx 5 1 1 lim 1 9 lim 22 1 2 1 x fxf x xf xx 1 1 1 lim 1 fxf x fxf x 1 lim 1 1 lim 11 fxf x fxf xx 令 xx 11 x0 x 1 1 1 1 lim 0 ff x fxf x 12 1 1 1 fff 6 xxxfxf22 1 1 3 比高一次 为二次三项式 xf x f xf 设cbxaxxf 2 1 22 2 2 232 cbxbaaxxbaxcbxax 1 1 1 1 222 3 22 2 2 c b a cbbc babac aab a 1 2 xxxf 2 1