2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题03,导数及其应用,(解析word版)

专题03 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点(1,ae)处的切线方程为y2xb,则 A. B.ae,b1 C. D., 【答案】D 【解析】∵ ∴切线的斜率,, 将代入,得. 故选D. 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a,b的等式,从而求解,属于常考题型. 2.【2019年高考天津理数】已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为 A.B. C.D. 【答案】C 【解析】当时,恒成立;

当时,恒成立, 令, 则 , 当,即时取等号, ∴,则. 当时,,即恒成立, 令,则, 当时,,函数单调递增, 当时,,函数单调递减, 则时,取得最小值, ∴, 综上可知,的取值范围是. 故选C. 【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题,分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值,然后解决恒成立问题. 3.(2019浙江)已知,函数.若函数恰有3个零点,则 A.a–1,b–1,b0 【答案】C 【解析】当x<0时,y=f(x)﹣ax﹣b=x﹣ax﹣b=(1﹣a)x﹣b=0,得xb1-a, 则y=f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点;

当x≥0时,y=f(x)﹣ax﹣b13x3-12(a1)x2ax﹣ax﹣b13x3-12(a1)x2﹣b, , 当a1≤0,即a≤﹣1时,y′≥0,y=f(x)﹣ax﹣b在[0,∞)上单调递增, 则y=f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点,不合题意;

当a1>0,即a﹣1时,令y′>0得x∈a1,∞),此时函数单调递增, 令y′<0得x∈[0,a1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点. 根据题意,函数y=f(x)﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y=f(x)﹣ax﹣b在(﹣∞,0)上有一个零点,在[0,∞)上有2个零点, 如图 ∴b1-a<0且-b>013a13-12a1a12-b<0, 解得b<0,1﹣a>0,b>-16(a1)3, 则a–1,b0. 故选C. 【名师点睛】本题考查函数与方程,导数的应用.当x<0时,y=f(x)﹣ax﹣b=x﹣ax﹣b=(1﹣a)x﹣b最多有一个零点;
当x≥0时,y=f(x)﹣ax﹣b13x3-12(a1)x2﹣b,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画出函数的草图,从而结合题意可列不等式组求解. 4.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________. 【答案】 【解析】 所以切线的斜率, 则曲线在点处的切线方程为,即. 【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,而导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求. 5.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由,得, 设斜率为的直线与曲线切于, 由得(舍去), ∴曲线上,点到直线的距离最小,最小值为. 故答案为. 【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法,利用数形结合和转化与化归思想解题. 6.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中,点A在曲线ylnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1e为自然对数的底数),则点A的坐标是 ▲ . 【答案】 【解析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值,可得切点坐标. 设点,则. 又, 当时,, 则曲线在点A处的切线为, 即, 将点代入,得, 即, 考察函数, 当时,,当时,, 且, 当时,单调递增, 注意到, 故存在唯一的实数根, 此时, 故点的坐标为. 【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点. 7.【2019年高考北京理数】设函数(a为常数).若f(x)为奇函数,则a________;
若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式,据此可得的值,然后利用可得a的取值范围. 若函数为奇函数,则即, 即对任意的恒成立, 则,得. 若函数是R上的增函数,则在R上恒成立, 即在R上恒成立, 又,则, 即实数的取值范围是. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识、基础知识、基本运算能力的考查. 8.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数,为的导数.证明 (1)在区间存在唯一极大值点;

(2)有且仅有2个零点. 【答案】(1)见解析;
(2)见解析. 【解析】(1)设,则,. 当时,单调递减,而,可得在有唯一零点, 设为. 则当时,;
当时,. 所以在单调递增,在单调递减,故在存在唯一极大值点,即在存在唯一极大值点. (2)的定义域为. (i)当时,由(1)知,在单调递增,而,所以当时,,故在单调递减,又,从而是在的唯一零点. (ii)当时,由(1)知,在单调递增,在单调递减,而,,所以存在,使得,且当时,;
当时,.故在单调递增,在单调递减. 又,,所以当时,.从而,在没有零点. (iii)当时,,所以在单调递减.而,,所以在有唯一零点. (iv)当时,,所以0,则当时,;
当时,.故在单调递增,在单调递减;

若a0,在单调递增;

若a0,则当时,;
当时,.故在单调递增,在单调递减. (2)满足题设条件的a,b存在. (i)当a≤0时,由(1)知,在[0,1]单调递增,所以在区间[0,l]的最小值为,最大值为.此时a,b满足题设条件当且仅当,,即a0,. (ii)当a≥3时,由(1)知,在[0,1]单调递减,所以在区间[0,1]的最大值为,最小值为.此时a,b满足题设条件当且仅当,b1,即a4,b1. (iii)当0a3时,由(1)知,在[0,1]的最小值为,最大值为b或. 若,b1,则,与0a3矛盾. 若,,则或或a0,与0a3矛盾. 综上,当且仅当a0,或a4,b1时,在[0,1]的最小值为-1,最大值为1. 【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题,题目难度比往年降低了不少,考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11.【2019年高考北京理数】已知函数. (Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;

(Ⅱ)当时,求证;

(Ⅲ)设,记在区间上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值. 【答案】(Ⅰ)与;
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ). 【解析】(Ⅰ)由得. 令,即,得或. 又,, 所以曲线的斜率为1的切线方程是与, 即与. (Ⅱ)令. 由得. 令得或. 的情况如下 所以的最小值为,最大值为. 故,即. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, 当时,;

当时,;

当时,. 综上,当最小时,. 【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程,利用导函数证明不等式,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.【2019年高考天津理数】设函数为的导函数. (Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)当时,证明;

(Ⅲ)设为函数在区间内的零点,其中,证明. 【答案】(Ⅰ)的单调递增区间为的单调递减区间为.(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,有.因此,当时,有,得,则单调递减;
当时,有,得,则单调递增. 所以,的单调递增区间为的单调递减区间为. (Ⅱ)证明记.依题意及(Ⅰ),有,从而.当时,,故 . 因此,在区间上单调递减,进而. 所以,当时,. (Ⅲ)证明依题意,,即.记,则,且. 由及(Ⅰ),得.由(Ⅱ)知,当时,,所以在上为减函数,因此.又由(Ⅱ)知,,故 . 所以,. 【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 13.【2019年高考浙江】已知实数,设函数 (1)当时,求函数的单调区间;

(2)对任意均有 求的取值范围. 注e2.71828为自然对数的底数. 【答案】(1)的单调递增区间是,单调递减区间是;
(2). 【解析】(1)当时,. , 所以,函数的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,). (2)由,得. 当时,等价于. 令,则. 设, 则. (i)当 时,,则 . 记,则 . 故 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以,. 因此,. (ii)当时,. 令 ,则, 故在上单调递增,所以. 由(i)得,. 所以,. 因此. 由(i)(ii)知对任意,, 即对任意,均有. 综上所述,所求a的取值范围是. 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值最值最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;
已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值极值,解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用. 14.【2019年高考江苏】设函数、为f(x)的导函数. (1)若abc,f(4)8,求a的值;

(2)若a≠b,bc,且f(x)和的零点均在集合中,求f(x)的极小值;