第九单元 第六节 一、选择题 1．在空间直角坐标系中，P2,3,4，Q－2,3,4两点的位置关系是 A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 【解析】 横坐标互为相反数，其余坐标相同，故P、Q两点关于yOz平面对称． 【答案】 B 2．设空间中有两点Px,2,3，Q5,4,7，若|PQ|＝6，则x的值是 A．9 B．1 C．21 D．9或1 【解析】 由|PQ|＝6，即x－52＋2－42＋3－72＝36，解得x＝9或x＝1. 【答案】 D 3．点A－1,2,1在x轴上的射影和在xOy平面上的射影点的坐标分别是 A．－1,0,1，－1,2,0 B．－1,0,0，－1,2,0 C．－1,0,0，－1,0,0 D．－1,2,0，－1,2,0 【解析】 依据在x轴上和在面xOy上射影的定义，知选B. 【答案】 B 4．设点P在x轴上，它到点P10，，3的距离是到点P20,1，－1的距离的两倍，则点P的坐标为 A．1,0,0 B．－1,0,0 C．1,0,0或0，－1,0 D．1,0,0或－1,0,0 【解析】 设P的坐标为x,0,0，由题意知，x2＋2＋9＝4x2＋1＋1，即x2＝1，x＝1. 【答案】 D 5．设点B是点A2，－3,5关于平面xOy的对称点，则|AB|等于 A．10 B. C. D．38 【解析】 点A2，－3,5关于平面xOy的对称点为 B2，－3，－5， ∴|AB|＝＝10. 【答案】 A 6．三棱锥O－ABC中，O0,0,0，A2,0,0，B0,1,0，C0,0,3，此三棱锥的体积为 A．1 B．2 C．3 D．6 【解析】 由题意可以判断OA，OB，OC两两垂直，所以VO－ABC＝123＝1. 【答案】 A 7．已知空间直角坐标系O－xyz中有一点A－1，－1,2，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是 A. B. C．3 D. 【解析】 ∵点B在xOy平面内的直线x＋y＝1上，故可设点B为x，－x＋1,0， ∴|AB|＝ ＝＝， ∴当x＝，即点B为时，|AB|取得最小值为. 【答案】 B 二、填空题 8．▱ABCD的两个顶点的坐标为A－1,1,3，B3，2，－3，对角线的交点为M1,0,4，则顶点C的坐标为________，顶点D的坐标为________． 【解析】 由已知得线段AC的中点为M，线段BD的中点也是M.由中点坐标公式易得C点坐标为3，－1,5，D点坐标为－1，－2,11． 【答案】 3，－1,5 －1，－2,11 9．如图所示，棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，则点Q的坐标是________． 【解析】 在平面OBB′D′内，过Q点分别作OB和z轴的垂线，其垂足分别为线段OB和OD′的中点．由此可得Q点的坐标为. 【答案】 10．以A10，－1,6，B4,1,9，C2,4,3三点为顶点的三角形的形状是____________． 【解析】 根据空间两点间距离公式，得 |AB|＝＝7， |BC|＝＝7， |AC|＝＝. ∵|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 【答案】 等腰直角三角形 三、解答题 11．已知在棱长全为2a的四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心．建立恰当的空间直角坐标系． 1写出该四棱锥P－ABCD各顶点的坐标；
2写出棱PB的中点M的坐标． 【解析】 如图，连接AC、BD交于点O，连接PO. ∵棱长均为2a, 且四边形ABCD为正方形， ∴PO⊥平面ABCD， ∴OA＝a，PO＝＝a.以O点为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 1在正四棱锥P－ABCD中各顶点的坐标分别为 Aa，0,0，B0，a,0，C－a,0,0，D0，－a,0，P0,0，a． 2∵M为棱PB的中点，由中点坐标公式得 M，即M. 12．如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上． 1当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
2当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值． 【解析】 由已知Aa，a,0，C0，a,0，D0，a，a，B0,0，a． 1当点P为对角线AB的中点时， 点P坐标为， 设Q0，a，z，则PQ＝. 当z＝时，PQ取到最小值为a，此时Q为CD的中点． 2当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为， 设AP∶AB＝k，则xP＝a1－k，yP＝a1－k，zP＝ak， 所以P点的坐标为a1－k，a1－k，ak， 所以PQ＝， 当k＝，即P为AB的中点时，PQ取到最小值a.