角平分线的判定 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 【例题精讲】 例1.如图1，在中，，平分，，求点 到直线的距离。
图1 例2．如图2，已知在Rt△ABC中，∠C90, BD平分∠ABC, 交AC于D. 1 若∠BAC30, 则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由; 2 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度数. 图2 例3.已知如图3，△ABC中，D是BC的中点，∠1∠2，求证ABAC。
分析此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1 ∠2；
BDCD，ADAD），但无法证明△ABD ≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。
图3 【课堂随练】 1、如图4，在△ABC中，D是BC的中点, DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF. 求证AD是△ABC的角平分线. 图4 2、 如图5，已知∠C90，∠1∠2，若BC8，BD5，求D到AB的距离。
3、如图6，在△ABC中，∠ABC2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求证ABBDAC。
图6 4、如图7，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DBDC， 求证EBFC 图7 5、如图8，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF∠BAF180。求证DEDF。
图8 【知识回顾】常见的全等三角形的基本类型 （1）平移全等型（如图）；
（2）对称全等型（如图）；
（3）旋转全等型（如图）． 找对应元素的常用方法 a．全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． b．全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．c．两个全等三角形有公共边的，公共边一定是对应边． d．两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角． e．两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角． f．两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角） 【例题精讲】 例4、如图9，△ABC中，∠ACB90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE.垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.求证AECD. 解析AE和CD分别是△ACE和△CBD的边，如果能证明△ACE≌△CBD.就能证明AECD，由已知条件可以证明△ACE≌△CBD. 图9 例5、如图10，已知AB⊥BD，ED⊥BD，ABCD，BCDE，求证；
AC⊥CE. 图10 例6.如图11，已知A，F，C，D四点在一直线上，AFCD，AB//DE，且ABDE. 求证（1）△ABC≌△DEF；
（2）∠CBF∠FEC. 图11 例7 如图12，△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证（1）AEBD 2CMCN 3 △CMN为等边三角形（4）MN∥BC 图12 E D A C B N M 【课堂随练】 1、下列结论错误的是（ ） A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．三边分别对应相等的两个三角形全等 C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．边长相等的等边三角形全等 2、如图，AD⊥BC于D，BDDC，E在AD上，则图中全等三角形共（ ） 第5题图 第4题图 第2题图 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3、下列各组条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′全等的是（ ） A．ACA′C′，BC B′C′，∠C∠C′．B．∠A∠A′，BC B′C′，AC A′C′ C．∠A∠A′，∠C∠C′，BC B′C′．D. AB A′C′，BC C′B′，AC A′B 4.如图，在△ABC中，∠C90，ACBC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB8cm，则△DEB的周长为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 5、如图，已知∠ADB∠ACB90，ACBD，且AC、BD交于点O，则下列说法正确的有（ ） ①ADBC ②∠DBC∠CAD ③AOBO ④AB∥CD ⑤△DOC为等腰三角形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6、完成下列填空 （1）把“等角的补角相等”改写成“如果____________，那么____________”. （2）把“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写成“如果____________，那么____________”. （3）“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果____________，那么____________”. 7.如图在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BDAC，在CF的延长线上截取CGAB，连结AD、AG。
求证（1）ADAG，（2）AD与AG的位置关系如何。
8.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分） （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明DC⊥BE 图1 图2 D C E A B 【家庭作业】 1、如图，OA⊥AC，OB⊥BC，填空 1利用“角的平分线上的点到角的两边 的距离相等”，已知 ＝ ， 可得 ＝ ；
2利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”， 已知 ＝ ，可得 ＝ ；
2、如图，∠ACB90,ACBC，BE⊥CE，AD⊥CE. 求证△ACD≌△CBE. G F E D C B A 3、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①ABAC ②DEDF ③BECF 已知EG∥AF，________，__________ 求证_________ 【课堂小结】 8