34基本不等式教案(人教A版必修5)

这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个 风车 代表中国人民热情好客 思考 这会标中含有 怎样的几何图形 思考 你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系 探究1 a b 1 正方形ABCD的 面积S 四个直角三角形的 面积和S S与S 有什么 样的不等关系 探究 S S 即 问 那么它们有相等的情况吗 a b A D B C E F G H b a 猜想 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 A B C D E FGH a b a b a b 思考 你能给给出不等式 的证证明吗吗 证明 作差法 重要不等式 一般地 对对于任意实实数a b 总总有 当且仅仅当a b时时 等号成立 文字叙述为 两数的平方和不小于它们积的2倍 适用范围 a b R 替换后得到 即 即 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 证明不等式 特别地 若a 0 b 0 则 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 基本不等式 在数学中 我们把 叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 文字叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 适用范围 a 0 b 0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 Rt ACD Rt DCB AB C D E a bO 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接 AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD OD与CD的大小关系怎样 OD CD 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接 AD BD OD 几何意义 半径不小于弦长的一半 A D B E OC a b 适用范围围 文字叙述 成立条件a ba b 两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数 两数的平方和不 小于它们积的2倍 a b Ra 0 b 0 填表比较 注意从不同角度认识基本不等式 x 1 1 1 x 1 f x x 1 x 1 1 2 x 1 1 1 x 1 当且仅当 取 号 当 x 0 时 函数 f x 的最小值是 1 x 1 即 x 0 时 1 x 1 解 x 1 x 1 0 例1 求函数 f x x x 1 的最小值 1 x 1 配凑系数 分析 x 1 2x 不是 常数 2 1为 解 0 x0 1 2 y x 1 2x 2x 1 2x 1 2 2 2x 1 2x 2 1 2 1 8 当且仅当 时 取 号 2x 1 2x 即 x 1 4 当 x 时 函数 y x 1 2x 的最大值是 1 4 1 8 例2 若 0 x0 y 0 xy 24 求4x 6y的最小值 并说明此时x y的值 4 已知x 0 y 0 且x 2y 1 求 的最小值 2 已知a b 4 求y 2a 2b的最小值 练习题 当x 6 y 4时 最小值为48 最小值为8 3 已知x 0 求函数 的最大值 题型一 分式形函数的最值求法 典例剖析