2．4 函数的奇偶性 【知识网络】 1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；
2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题． 【典型例题】 例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A） ①偶函数的图象一定与y轴相交；
②函数为奇函数的充要条件是；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）0（x∈R）． A．1 B．2 C．3 D．4 提示①不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；
②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；
③正确；
④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）0〔x∈（－，）〕，答案为A． （2）已知函数是偶函数，且其定义域为［］，则（ ） A．，b＝0 B．，b＝0 C．，b＝0 D．，b＝0 提示由为偶函数，得b＝0． 又定义域为［］，∴ ，∴．故答案为A． （3）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则）在R上的 表达式是（ ） A． B． C． D． 提示由时，，是定义在R上的奇函数得 当x＜0时，， ∴，即，答案为D． （4）已知，且，那么f（2）等于 提示为奇函数，，∴，∴． （5）已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为 提示由是偶函数，是奇函数，可得，联立，得， ∴ 例2．判断下列函数的奇偶性 （1）；
2；
（3）；
（4）． 解（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数． 2 ，∴ ∴既是奇函数又是偶函数． （3）由得定义域为，∴， ∵ ∴为偶函数 （4）当时，，则， 当时，，则， 综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数． 例3．若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式 ． 解由已知得 因fx是奇函数，故 ，于是． 又是定义在（1，1）上的增函数，从而 即不等式的解集是． 例4．已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，又． （1）求证为奇函数；
（2）求证在R上是减函数；
（3）求在[，6]上的最大值与最小值． （1）证明令，可得 ，从而，f0 0． 令，可得 ，即，故为奇函数． （2）证明设∈R，且，则，于是．从而 所以，为减函数． （3）解由（2）知，所求函数的最大值为，最小值为． 于是，在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4． 【课内练习】 1．下列命题中，真命题是（ C ） A．函数是奇函数，且在定义域内为减函数 B．函数是奇函数，且在定义域内为增函数 C．函数是偶函数，且在（3，0）上为减函数 D．函数是偶函数，且在（0，2）上为增函数 提示A中，在定义域内不具有单调性；
B中，函数的定义域不关于原点对称；
D中，当时，在（0，2）上为减函数，答案为C． 2． 若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（ ） A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 提示、为奇函数，∴为奇函数． 又有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3． ∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．答案为C． 3．定义在R上的奇函数在（0，∞）上是增函数，又，则不等式的解集为（A） A．（－3，0）∪（0，3） B．（－∞，－3）∪（3，∞） C．（－3，0）∪（3，∞）D．（－∞，－3）∪（0，3） 提示由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A． 4.已知函数是偶函数，在［0，2］上是单调减函数，则（A） A. B. C. D. 提示由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴在［－2，0］上单调递减. ∵是偶函数，∴在［0，2］上单调递增. 又，故应选A. 5．已知奇函数，当∈（0，1）时，lg，那么当∈（－1，0）时，的表达式是． 提示当（－1，0）时，∈（0，1），∴． 6．已知是奇函数，则＋ 2020． 提示 ，，解得，经检验适合，． 7．若是偶函数，当∈［0，∞时，，则的解集是 提示偶函数的图象关于y轴对称，先作出的图象，由图可知的解集为，∴的解集为. 8．试判断下列函数的奇偶性 （1）；
（2）；
（3）． 解（1）函数的定义域为R，， 故为偶函数． （2）由得，定义域为，关于原点对称， ，，故为奇函数． （3）函数的定义域为-∞，0∪0，1∪1，∞，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数． 9．已知函数对一切，都有，若，用表示． 解显然的定义域是，它关于原点对称．在中， 令，得， 令，得，∴， ∴，即， ∴是奇函数． ∵， ∴． 10．已知函数是奇函数，又，，，求、、的值. 解由得 ∴c0. 又，得， 而，得，解得. 又，∴或. 若，则b，应舍去；
若，则b1∈Z. ∴.