推论2等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。
（2）等腰三角形的其他性质 ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系设腰长为a，底边长为b，则a ④等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A1802∠B，∠B∠C 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论 定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。
推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二.等边三角形 1.定义 三条边都相等的三角形是等边三角形. 2.性质 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 3.判定 三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形. 三.线段垂直平分线 1.定义 垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.性质 线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定 到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 名师点睛典例分类 考点典例一、等腰三角形的性质 【例1】（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且ACCDBDBE，∠A50，则∠CDE的度数为（ ） A．50B．51C．51.5D．52.5 【答案】D. 考点等腰三角形的性质；
三角形内角和定理；
三角形的外角性质． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 【举一反三】 （2016山东枣庄第4题）如图，在△ABC中，AB AC，∠A 30，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于 A．15 B．17.5 C．20 D．22.5 第4题图 【答案】A. 【解析】 考点等腰三角形的性质；
三角形的内角和定理. 考点典例二、等腰三角形的多解问题 【例2】2016湖南怀化第8题）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ） A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm 【答案】C. 【解析】 试题分析分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况①当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm4cm8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故答案选C． 考点等腰三角形的性质；
三角形三边关系． 【点睛】题考查了等腰三角形的性质；
对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 【举一反三】 （2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ） A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对 【答案】C. 【解析】 考点等腰三角形的性质；
三角形三边关系． 考点典例三、等边三角形的性质与判定 【例3】（2016年福建龙岩第15题）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE1，∠E30，则BC ． 【答案】2. 【解析】 试题分析 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC∠ACB60，BABC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∠E30，BD⊥AC，∴∠BDC90，∴BC2DC，∵∠ACB∠E∠CDE，∴∠CDE∠E30，∴CDCE1，∴BC2CD2. 考点等边三角形. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决． 【举一反三】 （2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，连接BQ．若PA6，PB8，PC10，则四边形APBQ的面积为 ． 【答案】249． 【解析】 考点旋转的性质；
等边三角形的性质；
全等三角形的判定及性质． 考点典例四、线段垂直平分线的性质运用 【例3】（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC8，BC5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ． 【答案】13． 【解析】 试题分析已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EAEB，所以△BCE的周长BCECEBBCECEABCAC13， 考点线段的垂直平分线的性质. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键． 【举一反三】 （2016山东威海第10题）如图，在△ABC中，∠B∠C36，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ） A．B．AD，AE将∠BAC三等分 C．△ABE≌△ACDD．S△ADHS△CEG 【答案】A． 【解析】 考点黄金分割；
全等三角形的判定与性质；
线段的垂直平分线的综合运. 课时作业能力提升 一、选择题 1. （2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ） A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对 【答案】C. 【解析】 试题分析分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况①当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，周长为13cm；
②当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C. 考点等腰三角形的性质；
三角形三边关系． 2. （2016四川甘孜州第9题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB3，AD1，则△AED的周长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C． 【解析】 考点等腰三角形的判定与性质；
平行线的性质． 3. （2016辽宁营口第8题）如图，在△ABC中，∠ACB90，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（ ） A．ADCD B．∠A∠DCE C．∠ADE∠DCB D．∠A2∠DCB 【答案】D． 【解析】 试题分析∵DE是AC的垂直平分线，∴DADC，AEEC，故A正确，∴DE∥BC，∠A∠DCE，故B正确，∴∠ADE∠CDE∠DCB，故C正确，故选D． 考点作图基本作图；
线段垂直平分线的性质． 4. （2016河南第6题）如图，在△ABC中，∠ACB90，AC8，AB10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【 】 （A）6（B）5（C）4（D）3 【答案】D. 【解析】 考点勾股定理；
三角形的中位线定理. 5. （2016河北第16题）如图，∠AOB120，OP平分∠AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ） 第16题图 A．1个B．2个C．3个D．3个以上 【答案】d. 【解析】 试题分析Ｍ、Ｎ分别在ＡＯ、ＢＯ上，一个；
M、N其中一个和O点重合，2个；
反向延长线上，有一个，故答案选D. 考点等边三角形的判定. 6．在平面直角坐标系中，点A（，），B（，），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【解析】 考点1．等腰三角形的判定；
2．坐标与图形性质；
3．分类讨论；
4．综合题；
5．压轴题． 7.（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且ACCDBDBE，∠A50，则∠CDE的度数为（ ） A．50B．51C．51.5D．52.5 【答案】D. 【解析】 考点等腰三角形的性质；
三角形内角和定理；
三角形的外角性质． 二、填空题 8. （2016贵州遵义第14题）如图，在△ABC中，ABBC，∠ABC110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD 度． 【答案】35． 【解析】 试题分析∵在△ABC中，ABBC，∠ABC110，∴∠A∠C35，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴ADBD，∴∠ABD∠A35，故答案为35． 考点线段垂直平分线的性质． 9. （2016江苏苏州第17题）如图，在△ABC中，AB10，∠B60，点D、E分别在AB、BC上，且BDBE4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为 ． 【答案】2. 【解析】 试题分析过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B60，BEBD4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′FB′EBE2，DF2,∴GDB′F2，∴B′GDF2，∵AB10，∴AG10﹣64， ∴AB′2． 考点1轴对称；
2等边三角形. 10. （2016湖北随州第12题）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x150的根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】19或21或23． 【解析】 考点一元二次方程的解法；
三角形三边关系；
等腰三角形的性质． 11. （2016广西河池第18题）如图的三角形纸片中，ABAC，BC12cm，∠C30，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为 cm． 【答案】． 【解析】 试题分析过D作DH⊥BC，过点A作AN⊥BC于点N，∵ABAC，∴∠B∠C30，根据折叠可得DFBF，∠EDF∠B30，∵ABAC，BC12cm，∴BNNC6cm，∵点B落在AC的中点D处，AN∥DH，∴NHHC3cm，∴DH3tan30（cm），设BFDFxcm，则FH12﹣x﹣39﹣x（cm），故在Rt△DFC中，，故，解得x，即BF的长为cm．故答案为． 考点翻折变换（折叠问题）． 12. （2016内蒙古通辽第14题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的底角的度数为