2016～2017学年度下期高2016级六月联考试题 数学文科 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设且，则下列选项中正确的是 A.B.C.D. 2.计算的结果是 A.B.C.D. 3.已知为等差数列，若，则的值为 A.B.C.D. 4.已知直线和平面，则下列四个命题中正确的是 A.若，，则B.若，，则 C.若，，则D.若，，则 5.二次不等式的解集为，则的值为 A.B.C.2D. 6.已知、为锐角，，，则 A.B.C.D. 7.水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，，则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为 A.B.C.D. 8.在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，则 A.B.C.D. 9.在公比为的等比数列中，若，则的值是 A.B.C.D. 10.如图，正四面体的顶点、、分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的是 A.是正三棱锥 B.直线与平面相交 C.直线与平面所成的角的正弦值为 D.异面直线和所成角是 11.在锐角三角形中，，，则的取值范围是 A.B.C.D. 12.设等差数列的前项和为，，，，其中且，则数列的前项和的最大值为 A.B.C.D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 14.设正数满足，则的最小值为 ． 15.若数列是正项数列，且，则 ． 16.我国南宁时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中、、分别为内角、、的对边，若，且，则的面积的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图所示，在正四棱柱中，，，是棱上的点，且. 1求三棱锥的体积；
2求证平面平面. 18.在中，内角所对的边分别为，已知面积为，，. 1求的值；
2求的值. 19.设数列的前项和为，且，数列为等差数列，且，. 1求数列和的通项公式；
2设，求数列的前项和. 20.在中，内角、、所对的边分别是、、，不等式对一切实数恒成立. 1求的取值范围；
2当取最大值，且的周长为9时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状. 21.如图1是四棱锥的直观图，其正主视图和侧左视图均为直角三角形，俯视图外框为矩形，相关数据如图2所示. 1设中点为，在直线上找一点，使得平面，并说明理由；
2若二面角的平面角的余弦值为，求四棱锥的外接球的表面积. 22.已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是，且且，. 1求证是等比数列，并求出数列的通项公式；
2对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
3设四边形的表面积是，求证. 2016～2017学年度下期高2016级期末联考试题 数学理科参考答案 一、选择题 1-5CDDBC 6-10ABABC 11、12BD 二、填空题 13.2 14.4 15. 16. 三、解答题 17.解1在正四棱柱中， ∵， ∴， ∴ . 2证明由正四棱柱可知四边形为正方形，∴， ∵底面，平面，∴， 又∵，平面，平面， ∴平面， 又平面， ∴平面平面. 18.解1在中，由，可得，， 又因为，所以，即. 又，解得，. 由， 得. 2因为，， 所以 . 19.解1当时，， 当时，， 此式对也成立. ∴， 从而，， 又∵为等差数列，∴公差为， ∴. 2由1可知. 所以.① 得.② 得， ∴， ∴. 20.解1当时，， 原不等式即为对一切实数不恒成立， 当时，应有， ∴， 解得或舍去， ∵，∴. 2∵，，∴的最大值为. 此时， ∴， ∴当且仅当时取等号. ∴当且仅当时取等号. 此时，面积的最大值为，为等边三角形. 21.解1当是中点时，平面， 证明如下取中点，连接、、， 在中，、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴且，又是中点，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. 2由三视图可得平面， 在底面中，过作交于点，连接， ∵平面，平面，∴， 又，平面， 平面，∵，∴平面， 又平面，∴， ∴是二面角的平面角， 在底面矩形，，，∴，， 在中，又， ∴，∴. 由直观图易知四棱锥的外接球的直径即为， ∴. 故四棱锥的外接球的表面积为. 22.1解由且得且 ∵，∴，∴，且 ∴是首项为3，公比为3的等比数列. ∴. ∴，. 2∵， ∵，，又， ∴故数列单调递减，此处也可作差证明数列单调递减 ∴当时，取得最大值为. 要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立， 则须使，即，对任意恒成立， ∴，解得或， ∴实数的取值范围为. 3，而， ∴四边形的面积为 ， ∴故.