如果事件A、B互斥，那么PABPAPB． 第Ⅰ卷 选择题（共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设复数，，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（ ） A．180 B．240 C．480 D．720 3．“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．在边长为1的等边中，设（ ） A． B． C． D． 5．下列命题错误的是（ ） A．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是“若，则都不为零”。
B．对于命题，使得；
则是，均有。
C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为“若方程无实根，则”。
正视图 俯视图 侧视图 D．“”是“”的充分不必要条件。
6．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的 等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体 的体积是（ ） A． B． C． D． 7．直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 8. 设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（ ） A．2 B．3 C．1和3 D．2和4 9．已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率为（ ） A．4 B． C．－4 D．－14 10. 已知函数的定义域为[2，，部分对应值如下表。为的导函数，函数的图象如右图所示 2 0 4 1 1 1 若两正数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题（共100分） 第12题 开始 a1,b1 输出b aa1 b2b 结束 是 否 a≤ ① 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．） 11. 函数的图像在点M处的切线方程是, 。
12. 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b值为，则循环体的判断框内①处应填 。
13. 以、为焦点的椭圆＝１（）上顶点P， 当120时，则此椭圆离心率e的大小为 。
★（请考生在以下二个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分） O A B C D 14. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线和相交于点，则＝ ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的 切线交AB的延长线于点D，CD2，AB 3． 则BD的长为 ． 三、解答题（本大题共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） （★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的周期和最大值；
（Ⅱ）已知，求的值． 17．（本小题满分14分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为．已知甲、乙两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升 （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少最少为多少升 18．（本小题满分12分） （1）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒。当你到达路口时，求不是红灯的概率。
（2）已知关于x的一元二次函数设集合P{1，2，3}和Q{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率。
19．（本小题满分14分） A B C D A1 B1 C1 D1 E F 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证EF∥平面CB1D1；
（2）求证平面CAA1C1⊥平面CB1D1． 20．（本小题满分14分） 若椭圆过点，离心率为，⊙O的圆心在原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B. 1 求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的方程。
21．（本小题满分14分） 已知数列的前项和和通项满足（是常数且）。
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ 当时，试证明；
Ⅲ设函数，，是否存在正整数，使对都成立若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由. 惠州市2009届高三模拟考试数学试题 （文科）评分标准 一．选择题（10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A A D D A A B 1、解析，所以对应的点的坐标为，故选D。
2、解析抽取学生数为（人），故选A。
3、解析 ，故选B。
4、解析，故选A。
5、解析命题的否定是只否定结论，∴选A. 6、解析由三视图知几何体的直观图是半个圆锥， ，∴选D． 7、解析圆心（0，0）到直线的距离， 圆的半径为1，可能相切或相交。故选D。
8、解析P点取法总共有9种，由图知直线截距为2时经过的点最多；
∴选A． 9、解析∵是等差数列，，， O b a ∴，，∴，选A. 10、解析由题意，函数的图象大致如图， ， 则由不等式组所表示的区域如图所示， 的取值范围即区域内的点与 连线的斜率的取值范围，，故选B。
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．） 11、4 12、3（注答题卷填的是也给5分） 13、 14、 15、4 11、解析∵切点既在曲线上也在切线上，∴，，∴4 12、解析1时进入循环此时212，2时再进入循环此时224，3时再进入循环此时2416，∴4时应跳出循环，∴循环满足的条件为，∴填3。
（注答题卷填的是也给5分） 13、解析当120时，30，∴。∴填． 14、解析在平面直角坐标系中，曲线和分别表示圆 和直线，作图易知＝。
15、解析由切割线定理得， ， ，． 三．解答题（本大题共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分） 解（Ⅰ） ＝． 3分 ∴周期为， 4分 最大值为6 5分 （Ⅱ）由，得． 6分 ∴． 7分 ∴， 8分 即 9分 ， 10分 ∴． 12分 17．（本小题满分14分） 解（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 2分 要耗油（升）。
4分 答当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。6分 （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得 8分 令得 10分 当时，是减函数；
当时，是增函数。
当时，取到极小值 12分 因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
答当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升。14分 18．（本小题满分12分） 解（1）基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯，它们的时间分别为30秒、5秒和40秒，设它们的概率的分别为P1，P2，P3， 所以不是红灯的概率P1- P1 6分 （2）∵函数的图象的对称轴为 要使在区间上为增函数， 当且仅当0且 8分 若1则－1， 若2则－1，1；
若3则－1，1；
10分 ∴事件包含基本事件的个数是1225 ∴所求事件的概率为 12分 19.本小题满分14分 （1）证明连结BD.在长方体中，对角线. 2分 又 E、F为棱AD、AB的中点， ∴. ∴. 4分 又B1D1平面，平面，∴EF∥平面CB1D1. 7分 （2） 在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， ∴AA1⊥B1D1. 9分 又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴ B1D1⊥平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1． 14分 20．（本小题满分14分） 解（1）由题意得 ， 4分 所以椭圆的方程为 6分 （2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大， 8分 因为直线PA的斜率一定存在，设直线PA的方程为y-6kx-8 10分 又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为 11分 即 可得 12分 所以直线PA的方程为 14分 21．本小题满分14分 解 Ⅰ由题意，，得∴ 1分 当时， ， ∴ 3分 ∴数列是首项，公比为的等比数列，∴ 4分 Ⅱ