2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷I解析版）

20202020 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 全国卷 I I 解 解 析版 析版 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 I I 卷卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准 考证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 I 卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件A B相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A BP A P B AA 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p 那么 3 3 4 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 复数 32 23 i i A i B i C 12 13i D 12 13i 答案 A 命题意图 本小题主要考查复数的基本运算 重点考查分母实数化的转化技巧 解析 32 32 23 6946 23 23 23 13 iiiii i iii 2 记cos 80 k 那么tan100 A 2 1k k B 2 1k k C 2 1 k k D 2 1 k k 答案 B 命题意图 本小题主要考查诱导公式 同角三角函数关系式等三角函数知识 并突出了 弦切互化这一转化思想的应用 解析 222 sin801 cos 801 cos 80 1 k 所以tan100tan80 2 sin801 cos80 k k 3 若变量 x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy 则2zxy 的最大值为 A 4 B 3 C 2 D 1 4 已知各项均为正数的等比数列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 答案 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等知 识 着重考查了转化与化归的数学思想 解析 由等比数列的性质知 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A10 所以 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 5 353 12 1 xx 的展开式中 x 的系数是 A 4 B 2 C 2 D 4 A B C D A1 B1 C1 D1 O 6 某校开设 A 类选修课 3 门 B 类选择课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两类课程 中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30 种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 7 正方体 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B与平面 AC 1 D所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的求法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是 解决本题的关键所在 这也是转化思想的具体体现 8 设 a 3 log2 b In2 c 1 2 5 则 A a b c Bb c a C c a b D c b a 答案 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大 小的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 a 3 log2 2 1 log 3 b In2 2 1 log e 而 22 log 3log1e 所以 a b c 1 2 5 1 5 而 22 52log 4log 3 所以 c a 综上 c a b 9 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 p 在 C 上 1 Fp 2 F 0 60 则 P 到 x 轴的距离为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 答案 B 命题意图 本小题主要考查双曲线的几何性质 第二定义 余弦定理 考查转化的数学 思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 不妨设点 P 00 xy在双曲线的右支 由双曲线的第二定义得 2 1000 12 a PFe xaexx c 2 2000 21 a PFe xexax c 由 余弦定理得 cos 1 FP 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 即 cos 0 60 222 00 00 12 21 2 2 2 12 21 xx xx 解得 2 0 5 2 x 所以 22 00 3 1 2 yx 故 P 到 x 轴的距离为 0 6 2 y 10 已知函数 F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 则 a 2b 的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 3 D 3 11 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为俩切点 那么PA PB 的 最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 答案 D 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求法 判别式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 解析 如图所示 设 PA PB x 0 x APO 则 APB 2 PO 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令PA PBy 则 42 2 1 xx y x 即 42 1 0 xy xy 由 2 x是实数 所以 2 1 4 1 0yy 2 610yy 解得32 2y 或32 2y 故 min 32 2PA PB 此时21x 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 P A B O A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 答案 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为h 则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 22 max 2 212 3h 故 max 4 3 3 V 绝密 启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修 选修 II 第 卷 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l0 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上作答无效 13 不等式 2 211xx 的解集是 答案 0 2 命题意图 本小题主要考查根式不等式的解法 利用平方去掉根号是解根式不等式的基 本思路 也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致 解析 原不等式等价于 22 21 1 10 xx x 解得 0 x 2 14 已知 为第三象限的角 3 cos2 5 则tan 2 4 1 2 x y 1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 15 直线1y 与曲线 2 yxxa 有四个交点 则a的取值范围是 答案 1 5 4 命题意图 本小题主要考查函数的图像与性质 不等式的解法 着 重考查了数形结合的数学思想 解析 如图 在同一直角坐标系内画出直线1y 与曲线 2 yxxa 观图可知 a 的取值必须满足 1 41 1 4 a a 解得 5 1 4 a 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的延长线交C于点D 且BF2FD uu ruur 则C的离心率为 答案 2 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第 二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 如图 22 BFbca 作 1 DDy 轴于点 D1 则由BF2FD uu ruur 得 1 2 3 OFBF DDBD 所以 1 33 22 DDOFc 即 3 2 D c x 由椭圆的第二定义得 22 33 22 acc FDea ca xO y B F 1 D D 又由 2 BFFD 得 2 3 2 c ca a 整理得 22 320caac 两边都除以 2 a 得 2 320ee 解得1 e 舍去 或 2 3 e 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 已知ABCV的内角A B及其对边a b满足cotcotabaAbB 求内角 C 命题意图命题意图 本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值 以及考查逻辑思维能力 运 算能力 同时转化与化归的思想 方程思想 点评点评 解斜三角形实际属于三角函数的范畴 以三角函数的考查有五种基本题型 考查 纯三角函数 考查三角函数与平面向量的交汇 解斜三角形 解斜三角形与向量的交汇 三角变换及求值与解斜三角形的交汇 每年对这方面的考查往往是轮番出现 备考注意这 几个方面的强化训练 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数 求X的分布列及期望 答案 解 解 记 A 表示事件 稿件能通过两位初审专家的评审 B 表示事件 稿件恰能通过一位初审专家的评审 C 表示事件 稿件能通过复审专家的评审 期望4 0 41 6EX 命题意图 本题主要考查等可能性事件 互斥事件 独立事件 相互独立试验 分布列 数学期望等知识 以及运用概率知识解决实际问题的能力 考查分类与整合思想 化归与转 化思想 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 故BK 平面ED C SBCBKDE DE 与平面内的两条相交直线BK BC都垂直 SBC DEEC DESBDE 平面 22 6 SBSDDB 2 3 SD DB DE SB A 22 62 6 33 EBDBDESESBEB 所以 2SEEB 由 22 5 1 2 SASDADABSEEB ABSA 知 22 12 1 AD 1 33 AESAAB 又 故ADE 为等腰三角形 取ED中点 F 连接AF 则 22 6 3 AFDE AFADDF 连接FG 则 FGEC FGDE 所以 AFG 是二面角ADEC 的平面角