平行线及其判定（提高）知识讲解 【学习目标】 1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】 要点一、平行线的定义及画法 1．定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 要点诠释 1平行线的定义有三个特征一是在同一个平面内；
二是两条直线；
三是不相交，三者缺一不可；
2有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． 3在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤 ①落用三角板的一条直角边与已知直线重合. ②靠用直尺紧靠三角板另一条直角边. ③推沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点. ④画沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点二、平行公理及推论 1．平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释 1平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． 2公理中“有”说明存在；
“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点三、直线平行的判定 判定方法1同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言 ∵ ∠3＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言 ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言 ∵ ∠4＋∠2＝180 ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、平行线的定义及表示 1．下列说法正确的是 A．不相交的两条线段是平行线. B．不相交的两条直线是平行线. C．不相交的两条射线是平行线. D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 【答案】D 【解析】平行线定义中三个关键词语“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”. 【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断． 类型二、平行公理及推论 2．在同一平面内，下列说法（1）过两点有且只有一条直线；
（2）两条直线有且只有一个公共点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】正确的是（1）3. 【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别． 举一反三 【变式】（2015春北京校级期中）下列命题中正确的有（ ） ①相等的角是对顶角；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③同位角相等；
④邻补角的平分线互相垂直． A．0个B．1个C．2个D．3个 【答案】C 类型三、两直线平行的判定 3. （2016春泰山区期末）下列图形中，由∠1∠2，能推出AB∥CD的是（ ） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】如图所示 ∵∠1∠2（已知）， ∠2∠3（对顶角相等） ∴∠1∠3 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选B 【总结升华】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 举一反三 【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是 A．第一次向左拐30，第二次向右拐30 B．第一次向右拐50，第二次向左拐130 C．第一次向右拐50，第二次向右拐130 D．第一次向左拐50，第二次向左拐130 【答案】A 提示“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图． 图B显然不同向，因为路线不平行． 图C中，∠1＝180-130＝50，路线平行但不同向． 图D中，∠1＝180-130＝50，路线平行但不同向． 只有图A路线平行且同向，故应选A． 4. 如图所示，已知∠B＝25，∠BCD＝45，∠CDE＝30，∠E＝10．试说明AB∥EF的理由． 【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来． 【答案与解析】 解法1如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25，在∠CDE的内部作∠EDN＝10． ∵ ∠B＝25，∠E＝10已知， ∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN等量代换． ∴ AB∥CM，EF∥DN内错角相等，两直线平行． 又∵ ∠BCD＝45，∠CDE＝30已知， ∴ ∠DCM＝20，∠CDN＝20等式性质． ∴ ∠DCM＝∠CDN等量代换． ∴ CM∥DN内错角相等，两直线平行． ∵ AB∥CM，EF∥DN已证， ∴ AB∥EF平行线的传递性． 解法2如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点． ∵ ∠BCD＝45，∴ ∠NCB＝135． ∵ ∠B＝25， ∴ ∠CNB＝180-∠NCB-∠B＝20三角形的内角和等于180． 又∵ ∠CDE＝30，∴ ∠EDM＝150． 又∵ ∠E＝10， ∴ ∠EMD＝180-∠EDM-∠E＝20三角形的内角和等于180． ∴ ∠CNB＝∠EMD等量代换． 所以AB∥EF内错角相等，两直线平行． 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取． 举一反三 【高清课堂平行线及判定403102经典例题2 】 【变式1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由． 【答案】 解AB∥CD，理由如下 ∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB， ∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2． 又∵ ∠1∠2＝90， ∴ ∠ABD∠CDB＝180． ∴ AB∥CD同旁内角互补，两直线平行． 【高清课堂平行线及判定403102 经典例题4 】 【变式2】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，12180，求证CD//EF． 【答案】 证明∵ABBD于B，CDBD于D， ∴AB∥CD． 又∵12180， ∴AB∥EF． ∴CD//EF．