2020年长郡中学高三文科数学第一次模拟试卷 命题人姜海平 一、选择题本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．命题“设a、b、”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A．0个B．1个C．2个D．3个 2． 的图象大致是下面的 （ ） 3．下列命题正确的是 （ ） A．函数在区间内单调递增 B．函数的最小正周期为 C．函数的图像是关于点成中心对称的图形 D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形 4．已知条件p k，条件q直线ykx2与圆x2y21相切，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过 该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结 果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该 站的汽车中速度不小于90km/h 的约有 （ ） A．100辆B．200辆 C．300辆 D．400辆 6.一个三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两垂直,且长度分别为1,,3,则这个三棱锥外接球的表面积为 A. 16π B. 32π C. 36π D. 64π 7．已知O为坐标原点，P是曲线上到直线距离最小的点，且直线OP是双曲线 的一条渐近线，则与的公共点个数是（ ）B学科网 A．2 B．0 学科网 C．1 D．不能确定，与、的值有关学科网 8．已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意实数a，b满足 考察下列结论①；
②为奇函数；
③数列为等比数列；
④数列为等差数列.其中正确命题的个数为（ ） A．1B．2C．3D．4 二、填空题本大题共7小题，每小题5分，满分35分. 9．函数的定义域是 . 10．若点B分的比为，且有,则等于 . 11．在的二项展开式中，若常数项为，则其展开式的二项式系数之和等于___________ .（用数字作答） 12．已知满足，则的最小值是_____________. 13. 集合A是集合B的4元素子集，最小元素为3，最大元素不小于8，则这样的集合A有 个（用数字作答）. 14．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体． 15．设定义域为D，若满足（1）在D 内是单调函数，；
（2）存在区间，使在时值域也为，则称为D上的闭函数. 当 是闭函数时，k的取值范围是 . 三、解答题本大题共6小题，满分75分， 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 已知向量 （Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）设函数），求的最大值、最小值及 取得最大值、最小值时x的值. 17. （本小题满分12分） 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（III）求点E到平面ACD的距离． 18. （本小题满分12分） 一项“过关游戏”规则规定 在第n 关要抛掷骰子n次, 若这n次抛掷所出现的点数之和大于, 则算过关. （Ⅰ）求在这项游戏中第三关过关的概率是多少 （Ⅱ）求某人只过第一关的概率. 19．（本小题满分13分） 已知圆，定点,点为圆上的动点，点在上，点 在上，且满足 （I）求点的轨迹的方程；
（II）过点作直线，与曲线交于,两点，是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形的对角线相等（即）若存在，求出直线的方程；
若不存在，试说明理由. 20．（本小题满分13分） 若实数a≠0，函数，． I令，求函数的单调区间；
Ⅱ若在区间0，＋∞上至少存在一点x0，使得成立，求实数a的取值范围． 21. （本题满分13分） 由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，，若对于任意都有，则称数列是数列的“自反函数列”. I设函数，若由函数确定的数列的自反数列为，求；
Ⅱ已知正数数列的前n项和，写出表达式，并证明你的结论；
Ⅲ在I和Ⅱ的条件下，，当时，设，是数列的前项和，且恒成立，求的取值范围. 长郡中学09届高三数学文科第一次模拟试卷参考答案 一．B B C A C A B D 二． 9. 10.1 11. 64 12.3 13.31 14. ①③④⑤ 15. 三．16. 解（Ⅰ）∵，① 2分 ①式平方得 ②3分 联立①、②，解得.6分 （2） .8分 ， 10分 12分 17. 解方法一 （I）证明连结OC 1分 在中，由已知可得 而 即3分 又 平面4分 （II）解取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。5分 在中， 6分 是直角斜边AC上的中线， 7分 异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；
8分 （III）解设点E到平面ACD的距离为 9分 在中， 10分 而11分 点E到平面ACD的距离为12分 方法二 （I）同方法一．4分 （II）解以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则6分 7分 9分 异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；
8分 （III）解设平面ACD的法向量为则 9分 令得是平面ACD的一个法向量．10分 又点E到平面ACD的距离 12分 18. 解（Ⅰ）设第三关不过关事件为A, 则第三关过关事件为 .由题设可知 事件A是指第三关出现点数之和没有大于5.因为第三关出现点数之和为3,4, 5的次数分别为1,3,6知 PA , ∴P1－ . 6分 （Ⅱ）第一关不过关的事件为B, 第二关不过关的事件为C.则某人只过第一关的概率为 PPC, 依题意知 PB , ∴P , 又PC ∴PC . 12分 19. 解（I）Q为PN的中点且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线|PG||GN| ∴|GN||GM||MP|6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆， 其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b2， ∴点G的轨迹方程是 5分 Ⅱ因为，所以四边形OASB为平行四边形 若存在l使得||||，则四边形OASB为矩形 若l的斜率不存在，直线l的方程为x2，由 矛盾，故l的斜率存在.7分 设l的方程为 9分 ① 10分 ② 把①、②代入 12分 ∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等. 13分 20. 解I∵ ∴ 2分 令得x －2或x 1 当a 0时，列表如下， x －∞，－2 －2 －2，1 1 1，＋∞ － 0 ＋ － hx 减 －20a－2 增 7a－2 减 ∴hx的单调递减区间是－∞，－2和1，＋∞，单调递增区间是－2，14分 当a 0时，函数在区间0，1上递增，在1，＋∞上递减， ∴要满足条件应有函数的极大值，即10分 当a 0时，函数在区间0，1上递减，在1，＋∞上递增， 且极小值为 ∴此时在0，＋∞上至少存在一解；
12分 综上，实数a的取值范围为．13分 21. 解I由题意得， . 4分 Ⅱ正数数列的前项和 ，解之得，当时，， 6分 ，，，， 以上各式累加，得， 又也满足上式，故 9分 Ⅲ在I和Ⅱ的条件下，， 当时， 由是数列的前项和 综上 11分 因为恒成立，所以小于的最小值，显然的最小值在时取得，即 满足的条件是 解得 13分