四川省雅安中学2018-2109学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

雅安中学2018-2019学年下期高2018级高一期中考试 数学试题 一、选择题(在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设向量与向量共线,则实数x=( ) A. 2B. 3C. 4D. 6 【答案】B 【解析】 与共线 ,解得 故选 2.中,,,,则最短边的边长等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由,可得从而可得角最小,根据大边对大角可得最短边是,利用正弦定理求即可. 【详解】由,得, 最小,故最小边是, 由, 得,故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);
(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;
(3)证明化简过程中边角互化;
(4)求三角形外接圆半径. 3.在中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析、由A和的度数,利用三角形内角和定理求出C度数,再由b的值,利用正弦定理求出a与c,得到此时三角形只有一解,不合题意;
B、由a,c及cosB的值,利用余弦定理列出关系式,得到b2小于0,无解,此时三角形无解,不合题意;

C、由a,b及sinA的值,利用正弦定理求出sinB的值,由a大于b得到A大于B,可得出此时B只有一解,不合题意;

D、由a,b及sinA的值,利用正弦定理求出sinB的值,由a小于b得到A小于B,可得出此时B有两解,符合题意.解B、∵a60,c48,B60,∴由余弦定理得b2a2c2-2accosB36002304-2880-3024<0,∴此时三角形无解,不合题意;

C、∵a7,b5,A80,∴由正弦定理 得sinB,又b<a,∴B<A80,∴B只有一解,不合题意;

D、∵a14,b16,A45,∴由正弦定理得,sinB∵a<b,∴45A<B,∴B有两解,符合题意,故选D 考点正弦、余弦定理 点评此题考查了正弦、余弦定理,三角形的边角关系,以及三角形的内角和定理,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键 4.等差数列中,已知,则n为( ) A. 48B. 49C. 50D. 51 【答案】C 【解析】 本题考查等差数列的通项公式及基本运算. 设公差为则 则 解得故选C 5.在R上定义运算,则满足的实数x的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析由定义运算⊙可知不等式x⊙(x-2)<0为,解不等式得解集为(-2,1) 考点一元二次不等式解法 6.下列命题中,正确的是( ) A. 若,则B. 若,则 C. 若,则D. 若,则 【答案】C 【解析】 【分析】 选项A举特例可以排除,例如,就可以判断结论是错误的;

选项B只有当,结论才成立;

选项C根据不等式的性质,显然正确;

选项D由不等式的性质可以判断结论是错误的. 【详解】选项A只有当,根据不等式的性质,才能推出结论;

选项B由,所以只有当时,结论才能成立;

选项C题中隐含,所以根据不等式的性质两边同时乘以,可以得到,故本选项是正确的;

选项D由,所以结论错误,也可以取特殊值验证,如. 【点睛】本题考查了不等式的性质及基本性质.解决本题的基本方法除了正确掌握不等式的性质及基本性质之处,取特殊值代入是一个好方法,但是要注意,这种方法只能判断是错误的,不能验证是正确的. 7.已知数列,满足,若,则=( ) A. B. 2C. ﹣1D. 1 【答案】A 【解析】 试题分析由,得,可知数列是周期为3的周期数列,。

考点周期数列的判断及应用 8.中,,,则一定是 ( ) A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 由余弦定理和 ,,可以推出,就能判断是等腰三角形,又,最后可以判断出一定是等边三角形. 【详解】由余弦定理可知,而,,所以有 ,而,所以一定是等边三角形,故本题选D. 【点睛】本题考查了余弦定理及等边三角形判定方法. 9.为测量某塔的高度,在一幢与塔相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30,测得塔基B的俯角为45,那么塔的高度是( ) A. mB. mC. mD. 30 m 【答案】A 【解析】 试题分析如图,=,故选A. 考点解斜三角形的实际应用. 10.已知是等比数列,且,,那么的值等于( ) A. 5B. 10C. 15D. 20 【答案】A 【解析】 试题分析由于是等比数列,,, 又 .故选A. 考点等比中项. 11.已知是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知是单位向量,,可以设是直角坐标系中,横轴和纵轴上的单位向量,所以,设,这样可以化简, 得到,所以点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆,利用圆的性质可以求出的取值范围. 【详解】因为是单位向量,,所以设是直角坐标系中,横轴和纵轴上的单位向量,所以,设,由,可以得到 ,所以点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆,圆心到原点的距离为,所以,故本题选A. 【点睛】本题考查了向量语言与和符号语言之间的转化,突出了向量的几何性质. 12.设是函数的图象上一点,向量,且满足,数列是公差不为0的等差数列,若,则( ) A. 0B. 9C. 18D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 先由得到,再由是函数的图象上一点,得,再设,结合函数对称性得到的图象关于点对称,再由等差数列的性质即可求出结果. 【详解】因为,所以,即,因为是函数的图象上一点,所以,所以,设,则的图象关于点对称,因为,所以,即,所以是函数的图象与轴的交点,因为的图象关于点对称,所以,所以,故选C. 【点睛】本题主要考查平行向量的坐标运算以及函数图象的对称性、等差数列的性质等,熟记函数对称性、等差数列性质等即可,属于常考题型. 二、填空题。

13.已知向量,,则_________. 【答案】. 【解析】 因为向量,所以,即,所以,即,故应填. 考点本题考查向量的数量积的基本运算,属基础题. 14.在中,,则______. 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理可得,结合,可以通过解方程组,求出的值. 【详解】正弦定理可得,而,所以可求出. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用,考查了解方程组的能力. 15.已知数列的首项,且满足,则______. 【答案】. 【解析】 试题分析由, 由,得为常数,因此数列是以为首项,为公差的等差数列,,, . 考点1、构造新数列;
2、等差数列的通项公式. 16.已知正方形的边长为1,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;
以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,若,且,则的最小值是_________. 【答案】-5 【解析】 【分析】 根据正方形图形特征,建立如图所示的直角坐标系,表示为,表示为,根据的不同取值,利用向量的坐标运算,计算出的值,最后确定最小值. 【详解】建立如下图所示的直角坐标系 表示为,表示为, (1)当时, 则;

(2)当时, 则;

(3)当时, 则 (4)当时, 则 同样地,当取其他值时,或, 故的最小值是. 【点睛】本题考查了平面向量坐标表示,平面向量的数量积运算等基本知识,考查了分类讨论思想、化归思想、数形结合思想. 三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.设向量满足及, (Ⅰ)求夹角θ的大小;

(Ⅱ)求的值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ )对进行平方,利用向量的数量积公式,可以求出夹角θ的大小;

(Ⅱ)先对进行平方运算,然后把结果再开算术平方根. 【详解】解(Ⅰ)由, 得,即, ∵,∴. ∴. 又∵,∴夹角;

(Ⅱ)∵ =. ∴. 【点睛】本题考查了应用向量数量积求向量夹角问题、求向量模大小问题,考查了运算能力.常见的求模的口诀是遇模则平方再开算术平方根,也就是应用这个公式. 18.设的内角所对边的长分别为,且,的面积为 1求 2求的值. 【答案】(1)(2)或. 【解析】 【分析】 (1)由三角形的面积公式,直接可求出,然后利用同角三角函数的关系式,可以求出;

(2)直接应用余弦定理,可以求出的值. 【详解】解(1)∵,的面积为, ∴,∴, 又∵∴, (2)由余弦定理可得 或. 【点睛】本题考查了三角形面积公式、余弦定理以及同角三角函数关系式,考查了运算能力. 19.数列是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变为负 1求此等差数列的公差d;

2设前n项和为,求的最大值;

3当是正数时,求n的最大值. 【答案】1-4;
278;
312. 【解析】 试题分析(1)首先将项写出通项公式的形式,即用首项和公差表示第六项和第七项,再,求得公差;
(2)由(1)知道此数列首项是正数,公差小于0,所以前n项和的最大值,就是前正数项的和最大,(3)根据(1)的结果,可以写出公式,然后再解不等式. 试题解析(1)由已知, 解得,又 (2)是等比数列,又 所以当时,取得最大值, (3),整理得 所以又 所以的最大值是12. 考点1.等差数列的通项公式;
2.等差数列的前n项和最值;
3.等差数列的前n项和. 20.设向量,. (1)若,求x的值;

(2)设函数,求最大值. 【答案】(1);
(2). 【解析】 【分析】 1直接化简得到,解方程即得x的值.2先求出f(x),再利用不等式的性质和三角函数的图像性质求出函数的最大值. 详解】(1)由得 , 又因为所以.又所以 (2)函数 因为所以,故,, 即的最大值为 【点睛】1本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质,考查向量的模的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答,求复合函数的最值,一般从复合函数的定义域入手,结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值. 21.如图,都在同一个与水平面垂直的平面内,为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,.试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等,然后求的距离计算结果精确到,. 【答案】0.33km。

【解析】 试题分析由已知可得在中,,所以,又,所以CB是的底边AD的中垂线,所以BDBA。然后再利用正弦定理求出AB长即可。

试题解析在中,,所以,又,所以CB是的底边AD的中垂线,所以BDBA。在中,,即,所以km,故B、D的距离为0.33km。

考点1.正弦定理;
2.解三角形;

22.已知数列是各项均为正数的等差数列,其中,且成等比数列;
数列的前项和为,满足. (1)求数列、的通项公式;

(2)如果,设数列的前项和为,是否存在正整数,使得成立,若存在,求出的最小值,若不存在,说明理由. 【答案】(1),;
(2)存在;

【解析】 试题分析(1)数列是等差数列,用公差表示出来后,由已知求得,可得通项公式,数列是已知和与项的关系,可由求得,再写出当时,两