中考数学,专题一,规律探索型问题

专题一规律探索型问题考点知识梳理中考典例精析专题训练练习篇专题训练探索规律型问题也是归纳猜想型问题其特点是给出一组具有某种特定关系的数式图形或是给出与图形有关的操作变化过程或某一具体的问题情境要求通过观察分析推理探究其中蕴含的规律进而归纳或猜想出一般性的结论类型有数列规律计算规律图形规律与动态规律等题型近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多 1 数列规律数列规律问题主要是通过观察分析归纳验证然后得出一般性的结论以列代数式即函数关系式为主要内容 2 计算规律计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系然后通过适当的计算主要以等差数列的计算为主回答问题 3 图形规律图形规律问题主要是观察图形的组成分拆等过程中的特点分析其联系和区别用相应的算式描述其中的规律要注意对应思想和数形结合 4 动态规律动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律解答此类问题时要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较明确哪些结果发生了变化哪些结果没有发生变化从而逐步发现规律点拨通过观察发现这组数字出现的规律是 1 分子以幂的形式排列分母与分子的差是定值4 2 再从特殊到一般从第一个数开始分子分别以3 4 5 的平方出现所以分子分母的代数式分别是 n 2 2和 n 2 2 4 如图将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放点A1 A2 An分别是正方形的中心则n个这样的正方形重叠部分的面积和为点拨本题是一个关于线段比的探究题主要考查学生的自学探究能力解答此类问题的一般思路是先从简单问题入手总结解题规律以此规律解答类似相关复杂问题 1 如图依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形按照此方法继续下去已知第一个矩形的面积为1 则第n个矩形的面积为 2 观察下列算式 1 3 22 3 4 1 2 4 32 8 9 1 3 5 42 15 16 1 1 请你按以上规律写出第4个算式 2 把这个规律用含字母的式子表示出来 3 你认为 2 中所写出的式子一定成立吗并说明理由答案 1 4 6 52 24 25 1 2 答案不唯一如n n 2 n 1 2 1 3 成立理由 n n 2 n 1 2 n2 2n n2 2n 1 n2 2n n2 2n 1 13 在平面直角坐标系中一蚂蚁从原点O出发按向上向右向下向右的方向依次不断移动每次移动1个单位其行走路线如图所示 1 填写下列各点的坐标 A1 A3 A12 2 写出点A4n的坐标 n是正整数 3 指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向答案 1 A1 0 1 A3 1 0 A12 6 0 2 A4n 2n 0 3 向上4 如下数表是由从1开始的连续自然数组成的观察规律并完成各题的解答 13456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536 1 表中第8行的最后一个数是它是自然数的平方第8行共有个数 2 用含n的代数式表示第n行的第一个数是最后一个数是第n行共有个数 3 求第n行各数之和规律探索型问题训练时间 60分钟分值 100分一选择题每小题5分共25分 1 2010中考变式题如图一串有趣的图案按一定的规律排列请仔细观察按此规律第2010个图案是解析观察图案可知每4个图案循环一次因为2010 4 502 2 所以第2010个图案与第2个图案相同故选B 答案 B 2 2012中考预测题观察下列算式 31 3 32 9 33 27 34 81 35 243 36 729 37 2187 38 6561 通过观察用你所发现的规律确定32012的个位数字是 A 3B 9C 7D 1 解析观察算式可发现每4个数字的个位数字循环一次因为2012 4 503 故32012的个位数字是1 答案 D 3 2010中考变式题填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律根据此规律 m的值是 A 38B 52C 66D 74 解析规律一和m对应位置的数除外其他相应位置的数都是偶数且后面的数比对应前面的数大2 如 0 2 4 6 其他位置的数是4 6 8 10 2 4 6 8 如图规律二一条对角线位置的数字之和等于另一条对角线位置的数字之积如4 44 6 8 则6 m 8 10 故m 74 答案 D 4 2010中考变式题为确保信息安全信息需加密传输发送方由明文密文加密接收方由密文明文解密已知有一种密码将英文26个小写字母a b c z依次对应0 1 2 25这26个自然数见表格当明文中的字母对应的序号为时将 10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号例如明文s对应密文c 按上述规定将明文 maths 译成密文后是 A wkdrcB wkhtcC eqdjcD eqhjc 解析 m对应的数字是12 12 10 22 22除以26的余数仍然是22 因此对应的字母是w a对应的数字是0 0 10 10 10除以26的余数仍然是10 因此对应的字母是k 所以明文 maths 译成密文后是 wkdrc 答案 A 5 2011 武汉在直角坐标系中我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点且规定正方形的内部不包含边界上的点观察如图所示的中心在原点一边平行于x轴的正方形边长为1的正方形内部有1个整点边长为2的正方形内部有1个整点边长为3的正方形内部有9个整点则边长为8的正方形内部的整点的个数为 A 65B 49C 36D 25 解析由题意分析知边长为n n 2 的正方形内部的整点个数满足当n为奇数时整点个数为n2 当n为偶数时整点个数为 n 1 2 所以边长为8的正方形内部的整点个数为 8 1 2 49 答案 B 二填空题每小题5分共40分 7 2011 北京在下表中我们把第i行第j列的数记为ai j 其中i j都是不大于5的正整数对于表中的每个数ai j规定如下当i j时 ai j 1 当i j时 ai j 0 例如当i 2 j 1时 ai j a2 1 1 按此规定 a1 3 表中的25个数中共有个1 计算a1 1 ai 1 a1 2 ai 2 a1 3 ai 3 a1 4 ai 4 a1 5 ai 5的值为解析 1 3 a1 3 0 表中i j的数共有15个表中25个数中有15个1 根据规定无论i 1 2 3 4或5 都有a1 1 ai 1 a1 2 ai 2 a1 3 ai 3 a1 4 ai 4 a1 5 ai 5 1 0 0 0 0 1 答案 0151 8 2010中考变式题观察下列图形它们是按一定规律排列的依照此规律第9个图形中共有个解析规律是1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 9 所以第9个图形共有1 3 9 1 27 28 个答案 28 9 2011 南京甲乙丙丁四位同学围成一圈依序循环报数规定甲乙丙丁首次报出的数依次为1 2 3 4 接着甲报5 乙报6 按此规律后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1 当报到的数是50时报数结束若报出的数为3的倍数则报该数的同学需拍手一次在此过程中甲同学需拍手的次数为解析 50 4 12余2 甲由共报出1 5 9 13 45 49 13次数其中的9 21 33和45是3的倍数甲同学需拍手的次数为4 答案 4 10 2010中考变式题如图为手的示意图在各个手指间标记字母A B C D 请你按图中箭头所指方向即A B C D C B A B C 的方式从A开始数连续的正整数1 2 3 4 当数到12时对应的字母是当字母C第201次出现时恰好数到的数是当字母C第2n 1次出现时 n为正整数恰好数到的数是用含n的代数式表示解析当数到12时对应的字母是B 根据已知条件将字母进行排列发现字母C出现的次数是奇数时此时数到的数恰好是这个奇数的3倍 201 2n 1都是奇数数到的数分别是3 201 603 3 2n 1 6n 3 答案 B6036n 3 11 2010中考变式题如图是圆心角为30 半径分别是1 3 5 7 的扇形组成的图形阴影部分的面积依次记为S1 S2 S3 则S50 结果保留答案 66 13 2010中考变式题如图 n 1个上底两腰皆为1 下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上设四边形P1M1N1N2的面积为S1 四边形P2M2N2N3的面积为S2 四边形PnMnNnNn 1的面积为Sn 通过逐一计算S1 S2 可得Sn 三解答题共35分 14 15分 2010中考变式题给出下列命题 15 20分 2011 河北如图至中两平行线AB CD间的距离均为6 点M为AB上一定点思考如图圆心为O的半圆形纸片在AB CD之间包括AB CD 其直径MN在AB上 MN 8 点P为半圆上一点设 MOP 当度时点P到CD的距离最小最小值为探究一在图的基础上以点M为旋转中心在AB CD之间顺时针旋转该半圆形纸片直到不能再转动为止如图得到最大旋转角 BMO 度此时点N到CD的距离是探究二将图中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉使扇形纸片MOP绕点M在AB CD之间顺时针旋转 1 如图当 60 时求在旋转过程中点P到CD的最小距离并请指出旋转角 BMO的最大值 2 如图在扇形纸片MOP旋转过程中要保证点P能落在直线CD上请确定的取值范围答案解思考902探究一302探究二 1 由已知得M与P的距离为4