专题13 计数原理 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（12x2 ）（1x）4的展开式中x3的系数为 A．12B．16C．20 D．24 【答案】A 【解析】由题意得x3的系数为，故选A． 【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；
系数为有理数的项的个数是__________． 【答案】 【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；
若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为，． 【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确． 3．【2019年高考江苏卷理数】设．已知． （1）求n的值；
（2）设，其中，求的值． 【答案】（1）；
（2）． 【解析】（1）因为， 所以， ． 因为， 所以， 解得． （2）由（1）知，． ． 解法一 因为，所以， 从而． 解法二 ． 因为，所以． 因此． 【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力． 4．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为 A．14B．C．240D． 【答案】C 【解析】二项展开式的第项的通项公式为， 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得．即， 解得或（舍去）．所以， 令，解得，所以的系数为．故选C． 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题． 5．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）】已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A．B．C．D． 【答案】D 【解析】令1，得展开式的各项系数和为， ，， ， 所求展开式中常数项为的展开式的常数项与项的系数和， 展开式的通项为， 令得；
令，无整数解， ∴展开式中常数项为，故选D． 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题（1）考查二项展开式的通项公式；
（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；
（3）二项展开式定理的应用． 6．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】展开式的常数项为 A．B．C．D． 【答案】D 【解析】展开式的通项公式为， 令，得，∴所求常数项为，故选D． 【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题． 7．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试】安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A．30种B．40种C．42种D．48种 【答案】C 【解析】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有种安排方法， 其中照顾老人甲的情况有种， 照顾老人乙的情况有种， 照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有种， ∴符合题意的安排方法有种，故选C． 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解． 8．【上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题】二项式展开式的常数项为第_________项． 【答案】4 【解析】由二项式展开式的通项公式得Tr1（2x）6–r（）r＝（–1）r26–2rx6–2r， 令6–2r＝0，得r＝3，∴T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题． 9．【河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答） 【答案】660 【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种， 若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有种，则不同的分配方案共有种， 故答案为660． 【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题． 10．【上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题】已知，且，那么的展开式中的常数项为_________． 【答案】–20 【解析】∵， 令，可得，∴，∴， 那么，即的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为–20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题． 11．【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应性测试数学试卷】设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为，若，则_________． 【答案】7 【解析】 展开式中二项式系数的最大值为， 展开式中二项式系数的最大值为， 因为，所以，即，解得． 【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的关键是要能准确计算出二项式系数的最大值． 12．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学试题】若展开式中的二项式系数和为64，则等于_________，该展开式中的常数项为_________． 【答案】6 15 【解析】由展开式中的二项式系数和为64，可得，解得， 的展开式的通项公式为， 令，解得，故该展开式中的常数项为， 本题正确结果为6，15． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 13．【广东省2019届高三六校第一次联考数学试题】若，则的展开式中常数项为_________． 【答案】240 【解析】， 展开式的通项公式为， 令，即． 的展开式中，常数项是，故答案为240． 【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键． 14．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若，则含的项为_________． 【答案】 【解析】依题得，所以n8，在的展开式中令x1，则有，所以ab2，又因为展开式的通项公式为，令．所以得到（舍），当时，由得．所以令，所以，故答案为． 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 （1）求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可． （2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数． 15．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）】设在，则展开式中的系数为_________． 【答案】 【解析】由题意，，的通项公式为， 当时，，当时，，故 展开式中的系数为．故答案为． 【点睛】本题考查了定积分的计算、二项式定理，正确求出值，是解题的关键． 16．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________． 【答案】360 【解析】方法1根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况 （1）甲校安排1名教师，分配方案种数有；
（2）甲校安排2名教师，分配方案种数有；
（3）甲校安排3名教师，分配方案种数有；
（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有；
由分类计数原理，可得共有（种）分配方案． 方法2由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；
3，2，1；
2，2，2， （1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共（种）；
李老师分配到四人组且该组不去甲校有（种），则第一种情况共有（种）；
（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有（种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有（种）；
（3）对于第三种情况，共有（种）；
综上所述，共有（种）分配方案． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 17．【上海市复旦大学附属中学2019届高三高考4月模拟试卷数学试题】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_________（结果用最简分数表示）． 【答案】 【解析】从5只球中随机取出3只，共种情况， 而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况， 若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况， 若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况， 所以取出的球的编号之和为奇数的概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 18．【河北省衡水市2019届高三四月大联考数学试题】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_________种．（用数字作答） 【答案】8 【解析】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻， 所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种， 所以共有坐法种数为种．故答案为8． 【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题．