专题13 计数原理 1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】(12x2 )(1x)4的展开式中x3的系数为 A.12B.16C.20 D.24 【答案】A 【解析】由题意得x3的系数为,故选A. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项的系数. 2.【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中,常数项是__________;
系数为有理数的项的个数是__________. 【答案】 【解析】由题意,的通项为,当时,可得常数项为;
若展开式的系数为有理数,则,有共5个项.故答案为,. 【名师点睛】此类问题解法比较明确,首要的是要准确记忆通项公式,特别是“幂指数”不能记混,其次,计算要细心,确保结果正确. 3.【2019年高考江苏卷理数】设.已知. (1)求n的值;
(2)设,其中,求的值. 【答案】(1);
(2). 【解析】(1)因为, 所以, . 因为, 所以, 解得. (2)由(1)知,. . 解法一 因为,所以, 从而. 解法二 . 因为,所以. 因此. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力. 4.【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5,则的系数为 A.14B.C.240D. 【答案】C 【解析】二项展开式的第项的通项公式为, 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5,可得.即, 解得或(舍去).所以, 令,解得,所以的系数为.故选C. 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式,考查了方程思想及计算能力,还考查了分析能力,属于中档题. 5.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)】已知的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 A.B.C.D. 【答案】D 【解析】令1,得展开式的各项系数和为, ,, , 所求展开式中常数项为的展开式的常数项与项的系数和, 展开式的通项为, 令得;
令,无整数解, ∴展开式中常数项为,故选D. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和,属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题(1)考查二项展开式的通项公式;
(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;
(3)二项展开式定理的应用. 6.【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】展开式的常数项为 A.B.C.D. 【答案】D 【解析】展开式的通项公式为, 令,得,∴所求常数项为,故选D. 【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题,属于基础题. 7.【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试】安排,,,,,,共6名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工不安排照顾老人甲,义工不安排照顾老人乙,则安排方法共有 A.30种B.40种C.42种D.48种 【答案】C 【解析】名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有种安排方法, 其中照顾老人甲的情况有种, 照顾老人乙的情况有种, 照顾老人甲,同时照顾老人乙的情况有种, ∴符合题意的安排方法有种,故选C. 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题,对于限制条件较多的问题,通常采用间接法来进行求解. 8.【上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测(二模)数学试题】二项式展开式的常数项为第_________项. 【答案】4 【解析】由二项式展开式的通项公式得Tr1(2x)6–r()r=(–1)r26–2rx6–2r, 令6–2r=0,得r=3,∴T4为常数项,即二项式展开式的常数项为第4项,故答案为4. 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项,属基础题. 9.【河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教,其中甲校至少分配两名教师,其它三所学校至少分配一名教师,则不同的分配方案共有_________种.(用数字作答) 【答案】660 【解析】若甲校2人,乙、丙、丁其中一校2人,共有种, 若甲校3人,乙、丙、丁每校1人,共有种,则不同的分配方案共有种, 故答案为660. 【点睛】本题考查排列组合,分类讨论思想,对每个学校人数讨论是关键,是基础题. 10.【上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题】已知,且,那么的展开式中的常数项为_________. 【答案】–20 【解析】∵, 令,可得,∴,∴, 那么,即的展开式的通项公式为, 令,求得,可得展开式中的常数项为,故答案为–20. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,赋值法,求展开式的系数和,项的系数,准确计算是关键,属于基础题. 11.【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应性测试数学试卷】设为正整数, 展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为,若,则_________. 【答案】7 【解析】 展开式中二项式系数的最大值为, 展开式中二项式系数的最大值为, 因为,所以,即,解得. 【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题,解题的关键是要能准确计算出二项式系数的最大值. 12.【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学试题】若展开式中的二项式系数和为64,则等于_________,该展开式中的常数项为_________. 【答案】6 15 【解析】由展开式中的二项式系数和为64,可得,解得, 的展开式的通项公式为, 令,解得,故该展开式中的常数项为, 本题正确结果为6,15. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题. 13.【广东省2019届高三六校第一次联考数学试题】若,则的展开式中常数项为_________. 【答案】240 【解析】, 展开式的通项公式为, 令,即. 的展开式中,常数项是,故答案为240. 【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用,利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键. 14.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】二项式的展开式中,设“所有二项式系数和”为A,“所有项的系数和”为B,“常数项”值为C,若,则含的项为_________. 【答案】 【解析】依题得,所以n8,在的展开式中令x1,则有,所以ab2,又因为展开式的通项公式为,令.所以得到(舍),当时,由得.所以令,所以,故答案为. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数. 15.【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习(二)】设在,则展开式中的系数为_________. 【答案】 【解析】由题意,,的通项公式为, 当时,,当时,,故 展开式中的系数为.故答案为. 【点睛】本题考查了定积分的计算、二项式定理,正确求出值,是解题的关键. 16.【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练(五)】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念,精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家精准扶贫战略,某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教,每所学校至少1人,因工作需要,其中李老师不去甲校,则分配方案种数为_________. 【答案】360 【解析】方法1根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教,每所学校至少1人,可分四种情况 (1)甲校安排1名教师,分配方案种数有;
(2)甲校安排2名教师,分配方案种数有;
(3)甲校安排3名教师,分配方案种数有;
(4)甲校安排4名教师,分配方案种数有;
由分类计数原理,可得共有(种)分配方案. 方法2由6名教师到三所学校,每所学校至少一人,可能的分组情况为4,1,1;
3,2,1;
2,2,2, (1)对于第一种情况,由于李老师不去甲校,李老师自己去一个学校有种,其余5名分成一人组和四人组有种,共(种);
李老师分配到四人组且该组不去甲校有(种),则第一种情况共有(种);
(2)对于第二种情况,李老师分配到一人组有(种),李老师分配到三人组有(种),李老师分配到两人组有(种),所以第二种情况共有(种);
(3)对于第三种情况,共有(种);
综上所述,共有(种)分配方案. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理,以及排列、组合的综合应用,其中解答中认真审题,合理分类讨论是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题. 17.【上海市复旦大学附属中学2019届高三高考4月模拟试卷数学试题】袋中装有5只大小相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,若从该袋中随机地取出3只,则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_________(结果用最简分数表示). 【答案】 【解析】从5只球中随机取出3只,共种情况, 而取出的3只球的编号之和为奇数,有2偶1奇和3只全为奇数两种情况, 若取出3只球中有2只偶数1只是奇数,则有种情况, 若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况, 所以取出的球的编号之和为奇数的概率为. 故答案为. 【点睛】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 18.【河北省衡水市2019届高三四月大联考数学试题】现有一圆桌,周边有标号为1,2,3,4的四个座位,甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题,每人只能坐一个座位,甲先选座位,且甲、乙不能相邻,则所有选座方法有_________种.(用数字作答) 【答案】8 【解析】先按排甲,其选座方法有种,由于甲、乙不能相邻, 所以乙只能坐甲对面,而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种, 所以共有坐法种数为种.故答案为8. 【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大,对结果的检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则,如特殊元素、位置优先原则,先取后排原则,先分组后分配原则,正难则反原则等,只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须考虑周全,做到不重不漏,正确解题.