一元二次不等式及其解法(2课时)

一元二次函数 复习一元二次函数 y ax2 bx c a 0 当a 0时图像 一元二次函数 复习一元二次函数 y ax2 bx c a 0 当a 0时图像 是二次的不等式叫做一元二次不等式 问题 如何解一元二次不等式呢 定义 含有一个未知数 并且未知数的最高次数 一元二次不等式定义 形如 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0 所以二次函数y x2 2x 3的图象如图 y 例 解一元二次不等式x2 2x 3 0 分析 令y x2 2x 3 得到一元二次函数 求得x2 2x 3 0的两根为x1 1 x2 3 y x2 2x 3 x o 1 3 研究二次函数y x2 2x 3的图象 图像如下 1 当x取 时 y 0 当x取 时 y0 x 1或3 x3 1 x 3 2 由图象写出不等式x2 2x 3 0的解集为 不等式x2 2x 3 0的解集为 x x3 x 1 x 3 y x2 2x 3 x o 1 3 y 0 y 0 问题探究 归纳 如何利用二次函数解二次不等式呢 1 先画出对应函数的图像 2 确定不等式的解集 的解集就是确定函数图像在X轴下方时 其x的取值范围 的解集就是确定函数图像在X轴上方时 其x的取值范围 x1 x2 b2 4ac 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象 方程x2 bx c 0的根 ax2 bx c 0 a 0 的解集 ax2 bx c0 的解集 x1 x2 0 0 0 有两个不等实根x1 x2 x1 x2 x xx2 x x1 x x2 有两个相等实根x1 x2 无实根 x x x1 R 一元二次不等式解集表 a 0 例 解不等式 例 解不等式 例 解不等式 例 解不等式 例 解不等式 例2 已知不等式的解集是 求实数的值 典例精讲 例 解关于x的不等式 解 含参变量的不等式 例 解关于x的不等式 解 例 已知恒成立 求a的取值范围 解 不等式恒成立 即解集为R 2 用程序框图来描述一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解的算法过程为 x x x1 x x R x xx2 x x1 x x2 基础自测1 不等式的解集为 A B C D 解析不等式同解于又 相应方程的两根为故原不等式的解集为答案A 2 设二次不等式ax2 bx 1 0的解集为 x 1 x 则ab的值为 A 6B 5C 6D 5解析因x 1 是方程ax2 bx 1 0的两根 a 3 b 2 ab 6 C 3 2009 四川理 1 设集合S x x 5 T x x2 4x 21 0 则S T A x 7 x 5 B x 3 x 5 C x 5 x 3 D x 7 x 5 解析S x 5 x 5 T x 7 x 3 S T x 5 x 3 C 4 不等式的解集是 A 1 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 解析 x 2 x 1 0且x 1 1 x 2 D 5 若集合A x ax2 ax 10时 相应二次方程中的 a2 4a 0 解得0 a 4 综上得 a 0 a 4 D 题型一一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式 1 2x2 4x 3 0 2 3x2 2x 8 0 3 8x 1 16x2 首先将二次项系数转化为正数 再看二次三项式能否因式分解 若能 则可得方程的两根 大于号取两边 小于号取中间 若不能 则再看 利用求根公式求解方程的根 而后写出解集 题型分类深度剖析 思维启迪 解 1 42 4 2 3 16 24 8 0 方程2x2 4x 3 0没有实根 2x2 4x 3 0的解集为 2 原不等式等价于3x2 2x 8 0 x 2 3x 4 0 x 2或x 不等式的解集为 2 3 原不等式等价于16x2 8x 1 0 4x 1 2 0 只有当4x 1 0 即时不等式成立 故不等式解集为 探究提高解一元二次不等式的一般步骤是 1 化为标准形式 2 确定判别式 的符号 3 若 0 则求出该不等式对应的二次方程的根 若 0 则对应的二次方程无根 4 结合二次函数的图象得出不等式的解集 特别地 若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式 则可立即写出不等式的解集 知能迁移1解下列不等式 解 1 两边都乘以 3 得3x2 6x 20 且方程3x2 6x 2 0的解是所以原不等式的解集是 2 方法一 原不等式即为16x2 8x 1 0 其相应方程为16x2 8x 1 0 8 2 4 16 0 上述方程有两相等实根结合二次函数y 16x2 8x 1的图象知 原不等式的解集为R 方法二8x 1 16x2 16x2 8x 1 0 4x 1 2 0 x R 不等式的解集为R 题型二含参数的一元二次不等式的解法 例2 已知不等式 a R 1 解这个关于x的不等式 2 若x a时不等式成立 求a的取值范围 讨论a的取值 首先看是否可化为一元二次不等式 其次看根的大小 思维启迪 解 1 原不等式等价于 ax 1 x 1 0 当a 0时 由 x 1 0 得x0时 不等式化为解得x 当a 0时 不等式化为若即 1 a 0 则若即a 1 则不等式解集为空集 若即a 1 则 综上所述 a0时 解集为 2 x a时不等式成立 即 a 11 即a的取值范围为 1 探究提高 1 含参数的一元二次不等式可分为两种情形 一是二次项系数为常数 参数在一次项或常数项的位置 此时可考虑分解因式 再对参数进行讨论 若不易分解因式 则要对判别式 分类讨论 分类应不重不漏 二是二次项系数为参数 则应考虑二次项系数是否为0 然后再讨论二次项系数不为0的情形 以便确定解集的形式 注意必须判断出相应方程的两根的大小 以便写出解集 2 含参数不等式的解法问题 是高考的重点内容 主要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想 知能迁移2解关于x的不等式x2 a a2 x a3 0 解原不等式可变形为 x a x a2 0 则方程 x a x a2 0的两个根为x1 a x2 a2 当aa2 此时原不等式的解集为 x xa2 当0a2 xa 此时原不等式的解集为 x xa 当a 1时 有a2 a xa2 此时原不等式的解集为 x xa2 当a 0时 有x 0 原不等式的解集为 x x R且x 0 当a 1时 有x 1 此时原不等式的解集为 x x R且x 1 综上可知 当a1时 原不等式的解集为 x xa2 当0a 当a 0时 原不等式的解集为 x x 0 当a 1时 原不等式的解集为 x x 1 题型四一元二次不等式的恒成立问题 例4 12分 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对所有的实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围 1 由于二次项系数含有字母 所以首先讨论m 0的情况 而后结合二次函数图象求解 2 转换思想将其看成关于m的一元一次不等式 利用其解集为 2 2 求参数x的范围 思维启迪 解 1 不等式mx2 2x m 1时 不等式恒成立 不满足题意 3分当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 即综上可知不存在这样的m 6分 2 从形式上看 这是一个关于x的一元二次不等式 可以换个角度 把它看成关于m的一元一次不等式 并且已知它的解集为 2 2 求参数x的范围 7分设f m x2 1 m 1 2x 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时线段在x轴下方 探究提高 1 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 知能迁移4已知f x x2 2ax 2 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解方法一f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 结合图象知 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得a 3 又a 1 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 2 a 1 又a 1 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围为 3 a 1 方法二由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 令g x x2 2ax 2 a 即 4a2 4 2 a 0或解得 3 a 1 1 解一元二次不等式时 首先要将一元二次不等式化成标准型 即ax2 bx c 0或ax2 bx c0 如解不等式6 x2 5x时首先化为x2 5x 60或ax2 bx c0 与一元二次方程ax2 bx c 0的关系 方法与技巧 思想方法感悟提高 1 知道一元二次方程ax2 bx c 0的根可以写出对应不等式的解集 2 知道一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c0或ax2 bx c 0的解集 1 一元二次不等式的界定 对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别 如 解不等式 x a ax 1 0 如果a 0它实际上是一个一元一次不等式 只有当a 0时它才是一个一元二次不等式 2 当判别式 0 a 0 解集为R ax2 bx c0 解集为 二者不要混为一谈 失误与防范 一 选择题1 2009 陕西理 1 若不等式x2 x 0的解集为M 函数f x ln 1 x 的定义域为N 则M N为 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 1 0 解析不等式x2 x 0的解集M x 0 x 1 f x ln 1 x 的定义域N x 1 x 1 则M N x 0 x 1 定时检测 A 2 已知不等式ax2 bx 1 0的解集是则不等式x2 bx a 0的解集是 A 2 3 B 2 3 C D 解析由题意知是方程ax2 bx 1 0的根 所以由韦达定理得解得a 6 b 5 不等式x2 bx a 0即为x2 5x 6 0 解集为 2 3 A 3 已知p 关于x的不等式x2 2ax a 0的解集是R q 10的解集是R等价于4a2 4a 0 即 1 a 0 C 4 设命题p 2x 3 1 q 则p是q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析不等式 2x 3 1的解是1 x 2 不等式的解是1 x 2 A 5 设f x 若f t 2 则实数t的取值范围是 A 1 4 B 2 3 C 4 1 D 0 3 解析由题意知t2 2t 1 2且t 0 或 2t 6 2且t3或t 0 D 6 在R上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1对任意实数x恒成立 则 A 1 a 1B 0 a 2C D 解析依题设得x a x2 a2 1恒成立 C 二 填空题7 若函数f x 是定义在 0 上的增函数 且对一切x 0 y 0满足f xy f x f y 则不等式f x 6 f x 0 x 0 所以0 x 2 0 2 8 若关于x的方程x2 ax a2 1 0有一正根和一负根 则a的取值范围是 解析令f x x2 ax a2 1 二次函数开口向上 若方程有一正一负根 则只需f 0 0 即a2 1 0 1 a 1 1 a 1 9 已知函数f x x2 2x b2 b 1 b R 若当x 1 1 时 f x 0恒成立 则b的取值范围是 解析依题意 f x 的对称轴为x 1 又开口向下 当x 1 1 时 f x 是单调递增函数 若f x 0恒成立 则f x min f 1 1 2 b2 b 1 0 即b2 b 2 0 b 2 b 1 0 b 2或b 1 b 2或b 1 三 解答题10 解不等式 解原不等式等价于解 得x2 3x 0 即 3 x 0 解 得x 1或x 故原不等式的解集为 11 解关于x的不等式ax2 2 2x ax a R 解原不等式变形为ax2 a 2 x 2 0 1 当a 0时 原不等式变为 2x 2 0 故其解集为 x x 1