四川省成都外国语学校2020届高三数学下学期3月月考试题 理（含解析） 一、选择题本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，求得，则，再根据复数的除法运算，即可求解． 【详解】由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则， 则根据复数的运算，得.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2.利用反证法证明若，则，假设为 A. 都不为0B. 不都为0 C. 都不为0，且D. 至少有一个为0 【答案】B 【解析】 分析】 根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】的否定为，即，不都为0，选B. 【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题. 3.设，，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 举反例否定D，而A,B,C可结合函数与不等式性质给予证明. 【详解】因为在上是增函数，所以; 因为-c在上是减函数，所以; 因,所以 当时,,所以D不成立，选D. 【点睛】本题考查指数函数单调性、反比例函数单调性以及不等式性质，考查基本应用求解能力.属基本题. 4.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 1009B. 1010C. 2020D. 2020 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用等差数列的性质化简已知得到，再求. 【详解】由题得，所以， 所以. 故答案为A 【点睛】1本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2 等差数列中，如果mnpq,则,特殊地，2mpq时，则，是的等差中项. 5.平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ） A. 16B. 20C. 21D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】 根据归纳得k条直线增加到k1条直线，则增加k1个平面，据此计算结果. 【详解】由题意得k条直线增加到k1条直线时增加k1个平面，所以平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为，选D. 【点睛】本题考查归纳推理，考查基本应用求解能力.属基本题. 6.体育课上定点投篮项目测试规则每位同学有次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为，若该同学本次测试合格的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据合格的情况列方程，解方程求出结果． 【详解】由题意可得 整理可得 解得 本题正确选项 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为（ ） A. 3B. C. 2D. 【答案】A 【解析】 试题分析根据平行投影知识可知该四面体中以平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3. 考点（1）空间直角坐标系；
（2）平行投影三视图. 8.已知椭圆，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ） A. 1B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2||AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2||AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2||AF2|的最大值等于5列式求b的值即可． 【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上， ∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点， 则|BF2||AF2||BF1||AF1|＝2a2a＝4a＝8 ∴|BF2||AF2|＝8﹣|AB|． 当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2||AF2|值最大， 此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2， 解得b， 故选C． 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题． 9.设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将函数有且只有一个零点，转化为方程，，有且只有一个实数根，构造函数g（x），求导求得极值与端点处的值，分析得到a的值. 【详解】∵函数，有且只有一个零点， ∴方程，，有且只有一个实数根， 令g（x）， 则g′（x），当时，g′（x）0，当时，g′（x）0， ∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x时，g（x）取得极大值g（）， 又g（0） g（）0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a 故选B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了函数与方程的转化，利用了构造法，属于中档题. 10.在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据，判断出在以原点为圆心，半径为的圆上，根据得到三点共线，利用圆心到直线的距离减去半径，求得的最小值. 【详解】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三点共线的向量表示，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 11.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 画出函数的图象，由图像可确定，，，由此可将所求式子转化为，根据二次函数单调性求得取值范围． 【详解】函数的图象如图所示 又 设 当时，单调递增 ，又， 的取值范围是 本题正确选项 【点睛】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 12.已知函数恰有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数求导数，得出导数有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象找到临界的相切状态，通过求解切线斜率即可构造不等式，求解得的取值范围． 【详解】函数 由于函数的两个极值点为， 即，是方程的两个不等实根 即方程有两个不等式实根，且， 设， 在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；
要使这两个函数有个不同的交点，应满足如图所示的位置关系 临界状态为图中虚线所示切线 恒过，设与曲线切于点 则 若有个不同的交点，则 解得 所以的取值范围是 本题正确选项 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，关键是能够将问题转化为两个函数有两个交点的问题，根据切线斜率求得临界值． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知向量， ， 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】 可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值． 【详解】由题意得， ∵， ∴，∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题. 14.已知函数，，正项等比数列满足，则等于______． 【答案】 【解析】 试题分析因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设①，又＋＋②，①②，得，所以． 考点1、等比数列的性质；
2、对数的运算；
3、数列求和． 【知识点睛】如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前项和公式即是用此法推导的． 15.如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题目给出的定义可得，即方程在区间有两个解，结合二次函数的图象和性质可构造关于的不等式组，求解可得的取值范围． 【详解】， 在区间存在， 满足 方程在区间有两个不相等的解 令， 则，解得 实数的取值范围是 本题正确结果 【点睛】本题主要考查新定义运算问题，关键是能够通过定义将问题转化为方程在区间内根的个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求得结果，属于中档题. 16.在平面四边形中，已知，，，，则的值为________ 【答案】10 【解析】 因为ABBCDADC5，所以将四边形放入椭圆内，A、C为左右两个焦点，不妨令椭圆方程为，设，则2a5， 由焦半径公式得，两式相减得， 而. 点睛本题考查了四边形内两对角线向量的数量积，本题在解答时依据题目条件将其转化为椭圆内的四边形，其中两个点作为焦点，然后由焦半径公式计算出另外两个点的关系式，最后求出向量的结果，有一定难度. 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.如图，的内角的对边分别为为线段上一点，的面积为. 求（1）的长；
（2）的值. 【答案】1 2 【解析】 【分析】 （1）根据，结合余弦定理先求出，进而可得，再由三角形面积公式即可求出结果；
（2）根据正弦定理求解即可. 【详解】解（1）由，可知 从而 由 （2） 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型. 18.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 个体经营户 100 50 150 合计 140 60 200 （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）以频率作为概率， 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为， 写出的分布列，并求的期望值． 附 0