高中数学2.4 线性回归方程知能优化训练 苏教版必修3 1．下列关系中为相关关系的有________． ①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． 解析据相关性的定义可知①②为相关关系，③④无相关关系． 答案①② 2．有关线性回归的说法，不正确的是________． ①相关关系的两个变量不是因果关系；
②散点图能直接地反映数据的相关程度；
③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系；
④任意一组数据都有回归方程． 解析并不是每一组数据都有回归方程，例如当一组数据的线性相关系数很小时，这组数据就不会有回归方程． 答案④ 3．线性回归方程＝bx＋a必经过点________． 解析根据求系数公式a＝－b可知＝b＋a，即点，能使线性回归方程＝bx＋a成立，所以线性回归方程＝bx＋a必经过点，． 答案， 4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重ykg对身高xcm的回归方程为＝0.72x－58.2，张红同学20岁身高178 cm，她的体重应该在________kg左右． 解析用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72178－58.2＝69.96kg． 答案69.96 一、填空题 1．2020年盐城调研有下列关系①人的年龄与他她拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③日照时间与水稻的亩产量；
④森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________． 解析相关关系是一种不确定性的关系，显然②具有确定性关系． 答案①③④ 2．下列说法 ①线性回归方程适用于一切样本和总体；
②线性回归方程一般都有局限性；
③样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围；
④线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值． 正确的是________将你认为正确的序号都填上． 解析样本或总体具有线性相关关系时，才可求线性回归方程，而且由线性回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此线性回归方程有一定的局限性．所以①④错． 答案②③ 3．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________． 解析散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；
②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；
③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；
④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③. 答案③ 4．设有一个线性回归方程＝4－3x，当变量x增加1个单位时，y平均________个单位． 解析当x增加到x＋1时，′－＝[4－3x＋1]－4－3x＝－3，所以y变化－3个单位，即平均减少3个单位． 答案减少3 5．2020年高考广东卷某市居民2020～2020年家庭年平均收入x单位万元与年平均支出Y单位万元的统计资料如下表所示 年份 2020 2020 2020 2020 2020 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系． 解析把2020～2020年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13万元，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系． 答案13 正 6．工人月工资y元依据劳动生产率x千元变化的线性回归方程为＝50＋80 x，当劳动生产率提高1000元时，工资平均提高________元． 解析线性回归方程＝bx＋a中b的意义是，当x增加一个单位时，y的值平均变化b个单位，这是一个平均变化率，线性回归方程不是一种确定关系，只能用于预测变量的值，所以当x增加一个单位1千元时，工资平均提高80元． 答案80 7．已知x与y之间的一组数据如下表 x 1 2 3 4 y 2 3 5 7 则x与y之间的线性回归方程＝bx＋a必过点________． 解析线性回归方程＝bx＋a必过点，， ＝＝2.5，＝＝4.25， 所以必过点2.5,4.25． 答案2.5,4.25 8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x千元与居民人均消费水平y千元统计调查，y与x具有相关关系，回归方程＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________． 解析由7.675＝0.66x＋1.562得x≈9.2621， ∴该城市居民人均消费额占人均工资收入的百分比为7.6759.2621≈83. 答案83 9．由一组观测数据x1，y1，x2，y2，，x12，y12得＝1.542，＝2.8475，x＝29.808，y＝99.208，xiyi＝54.243，则线性回归方程是________． 解析设线性回归方程＝bx＋a， 利用，计算a，b，得b≈1.218， a＝－b≈0.969， ∴线性回归方程为＝1.218x＋0.969. 答案＝1.218x＋0.969 二、解答题 10．高一2班的5名学生的化学和生物的成绩如下表 学生 A B C D E 化学 80 75 70 65 60 生物 70 65 68 64 62 画出散点图，并判断它们是否具有相关关系． 解以横轴表示化学成绩，纵轴表示生物成绩，可得相应的散点图，如图所示 观察散点图可知，化学成绩和生物成绩具有相关关系，且可以看成是线性相关关系． 11．某调查机构为了了解某地区的家庭收入水平与消费支出的相关情况，抽查了多个家庭，根据调查资料得到以下数据每户平均年收入为88000元，每户平均年消费支出为50000元，支出对于收入的回归系数为0.6. 1求支出对于收入的回归方程；
2年收入每增加100元，年消费支出平均增加多少元 3若某家庭年消费支出为80000元，试估计该家庭的年收入为多少元 解1设年收入为x元，年支出为y元，知 ＝88000元，＝50000元，b＝0.6， 则a＝－b＝50000－0.688000＝－2800. 故支出对于收入的回归方程为＝0.6x－2800. 2年收入每增加100元，年消费支出平均增加60元． 3某家庭年消费支出为80000元，根据回归方程＝0.6x－2800，可得80000＝0.6x－2800，解得x＝138000，即估计该家庭的年收入为138000元． 12．从某一行业随机抽取12家企业，它们的生产产量与生产费用的数据如下表所示 企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 产量x台 40 42 50 55 85 78 84 100 116 125 130 140 费用y 万元 130 150 155 140 150 154 165 170 167 180 175 185 1绘制生产产量x和生产费用y的散点图；
2如果两个变量之间是线性相关关系求出其线性回归方程；
3如果一个企业的产量是120台，请预测它的生产费用． 解1两个变量x和y之间的关系的散点图如图所示 2根据散点图可知，两个变量x和y之间的关系是线性相关关系．下面用最小平方法求线性回归方程 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 xi 40 42 50 55 85 78 84 100 116 125 130 140 1045 yi 130 150 155 140 150 154 165 170 167 180 175 185 1921 xiyi 5200 6300 7750 7700 12750 12020 13860 17000 19372 22500 22750 25900 173094 x 1600 1764 2500 3025 7225 6084 7056 10000 13456 15625 16900 19600 104835 所以＝87.08，＝160.1，n＝167298.096，n2＝90995.1168 设所求的线性回归方程是＝bx＋a， 所以b＝＝≈≈0.42， a＝－b＝160.1－0.4287.08≈123.53. 所求的线性回归方程是＝0.42x＋123.53. 3在线性回归方程＝0.42x＋123.53中，常数项123.53可以认为是固定费用，它不随产量的变化而变化；
0.42可以认为是可变费用的增长系数，即每增加一个单位的产量就增加0.42个单位的费用；
将x＝120代入回归方程得 ＝0.42120＋123.53＝173.93万元，即如果一个企业的生产量是120台，它的生产费用约为173.93万元．