2、 一元二次方程根的判别式为 （1） 当时，方程有两个不相等的实数根。
（2） 当时，方程有两个相等的实数根。
（3） 当时，方程没有实数根。
反之方程有两个不相等的实数根，则 ；
方程有两个相等的实数根，则 ；
方程没有实数根，则 。
[韦达定理相关知识] 1若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
2、如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。
3、以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 4、在一元二次方程中，有一根为0，则 ；
有一根为1，则 ；
有一根为，则 ；
若两根互为倒数,则 ；
若两根互为相反数，则 。
5、二次三项式的因式分解公式法 在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程 的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解. [基础运用] 例1已知方程的一个根是1，则另一个根是 ， 。
解 变式训练 1、已知是方程的一个根，则另一根和的值分别是多少 2、方程的两个根都是整数，则的值是多少 例2设是方程，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值 （1） （2） （3） （4） 变式训练 1、 已知关于的方程有实数根，求满足下列条件的值 （1）有两个实数根。
（2）有两个正实数根。
（3）有一个正数根和一个负数根。
（4）两个根都小于2。
2、已知关于的方程。
（1）求证方程必有两个不相等的实数根。
（2）取何值时，方程有两个正根。
（3）取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4）取何值时，方程到少有一根为零 选用例题 例3已知方程的两根之比为12，判别式的值为1，则是多少 例4、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求的值。
例5、若方程与有一个根相同，求的值。
基础训练 1．关于的方程中，如果，那么根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）不能确定 2．设是方程的两根，则的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） （A） 2y256y（B）x252x（C）x2－x20（D）3x2－2x10 4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A） y25y－60 （B）y25y＋60 （C）y2－5y＋60 （D）y2－5y－60 5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1， 那么x1x2等于（ ） （A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6.关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a0，那么根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）不能确定 7.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 8．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝ 9．如果关于x的方程2x2－4k1x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，（x1－x2）2＝ 11．若关于x的方程m2－2x2－m－2x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝ . 二、能力训练 1、 不解方程，判别下列方程根的情况 （1）x2－x5 29x2－620 3x2－x20 2、 当m 时，方程x2mx40有两个相等的实数根；
当m 时，方程mx24x10有两个不相等的实数根；
3、 已知关于x的方程10 x2－m3xm－70，若有一个根为0，则m ， 这时方程的另一个根是 ；
若两根之和为－，则m ，这时方程的 两个根为 . 4、 已知3－是方程x2mx70的一个根，求另一个根及m的值。
5、 求证方程m21x2－2mxm240没有实数根。
6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－和1。
7、 设x1,x2是方程2x24x－30的两根，利用根与系数关系求下列各式的值 1 x11x21 2 （3）x12 x1x22 x1 8、如果x2－2m1xm25是一个完全平方式，则m ; 9、方程2xmx－4x2－6没有实数根，则最小的整数m ; 10、已知方程2x－1x－3mxm－4两根的和与两根的积相等，则m ; 11、设关于x的方程x2－6xk0的两根是m和n，且3m2n20，则k值为 ; 12、设方程4x2－7x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值 1 x12x22 2x1－x2 （3） （4）x1x22＋x1 13、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式的值。
14、已知a是实数，且方程x22ax10有两个不相等的实根，试判别方程x22ax1－a2x2－a2－10有无实根 15、求证不论k为何实数，关于x的式子x－1x－2－k2都可以分解成两个一次因式的积。
16、实数K在什么范围取值时，方程有实数正根 训练（一） 1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；
12t23t－40, ; 216x2924x, ; 35u21－7u0, ; 2、 若方程x2－2m－1xm210有实数根，则m的取值范围是 ; 3、 一元二次方程x2pxq0两个根分别是2和2－，则p ,q ; 4、 已知方程3x2－19xm0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m ; 5、 若方程x2mx－10的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ; 6、 m,n是关于x 的方程x2-2m-1xm210的两个实数根，则代数式 mn 。
7、 已知关于x的方程x2－k1xk20的两根的平方和等于6，求k的值; 8、 如果α和β是方程2x23x－10的两个根，利用根与系数关系，求作一个一 元二次方程，使它的两个根分别等于α和β; 9、 已知a,b,c是三角形的三边长，且方程a2b2c2x22abcx30有两个相 等的实数根，求证这个三角形是正三角形 10.取什么实数时，二次三项式2x2－4k1x2k2－1可因式分解. 11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。
训练（二） 1、 已知方程x2－3x10的两个根为α,β，则αβ , αβ ; 2、 如果关于x的方程x2－4xm0与x2－x－2m0有一个根相同，则m的值为 ; 3、 已知方程2x2－3xk0的两根之差为2，则k ; 4、 若方程x2a2－2x－30的两根是1和－3，则a ; 5、 方程4x2－2a-bx－ab0的根的判别式的值是 ; 6、 若关于x的方程x22m－1x4m20有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ; 7、 已知p0,q0，则一元二次方程x2pxq0的根的情况是 ; 8、 以方程x2－3x－10的两个根的平方为根的一元二次方程是 ; 9、 设x1,x2是方程2x2－6x30的两个根，求下列各式的值 1x12x2x1x22 2 － 10．m取什么值时，方程2x2－4m1x2m2－10 （1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；
11．设方程x2pxq0两根之比为12，根的判别式Δ1，求p,q的值。
12．是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足＝，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。
一元二次方程根与系数关系专题训练 主编闫老师 1、如果方程ax2bxc0a≠0的两根是x1、x2， 那么x1x2 ，x1x2 。
2、已知x1、x2是方程2x23x－40的两个根， 那么x1x2 ；
x1x2 ；
；
x21x22 ；
x11x21 ；
｜x1－x2｜ 。
3、以2和3为根的一元二次方程二次项系数为1是 。
4、如果关于x的一元二次方程x2xa0的一个根是1－，那么另一个根是 ，a的值为 。
5、如果关于x的方程x26xk0的两根差为2，那么k 。
6、已知方程2x2mx－40两根的绝对值相等，则m 。
7、一元二次方程px2qxr0p≠0的两根为0和－1，则q∶p 。
8、已知方程x2－mx20的两根互为相反数，则m 。
9、已知关于x的一元二次方程a2－1x2－a1x10两根互为倒数，则a 。
10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－60的两根为x1和x2，且x1x2－2，则m ，x1x2 。
11、已知方程3x2x－10，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程