2．求的本征值和所属的本征函数。
解的久期方程为 ∴ 的本征值为。
设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 ，得 由归一化条件 ，得 即 ∴ 对应于本征值的本征函数为 设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 由归一化条件，得 即 ∴ 对应于本征值的本征函数为 同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为 3．求自旋角动量方向的投影 本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量有哪些可能值这些可能值各以多大的几率出现的平均值是多少 解在 表象，的矩阵元为 其相应的久期方程为 即 所以的本征值为。
设对应于的本征函数的矩阵表示为，则 由归一化条件，得 可见， 的可能值为 相应的几率为 同理可求得 对应于的本征函数为 在此态中，的可能值为 相应的几率为 讨论算符的本征值为，而z方向为空间的任意方向。现在把z方向特别选为沿方向（这相当于作一个坐标旋转），则的本征值也应为。另外我们知道，本征值和表象的先取无关。这样选择并不影响结果的普遍性。
同理的本征值也都是。
我们也可以在为对角矩阵的表象中（表象）求本征矢。显然这时的知阵为 所以本征矢为 注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在表象，而上面算出的表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。
4．在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。
（解） 方法类似前题，设算符的本征矢是 1 它的本征值是。又将题给的算符展开 2 写出本征方程式 3 根据问题（6）的结论，,对的共同本征矢，，运算法则是 ， ， ， ， ， （4） 将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数 （5） 或 （6） （6）具有非平凡解（平凡解 ，）条件是久期方程式为零，即 它的解 （7） 时，代入（6）得 （8） （1） 的归一化条件是 将（8）代入（9），得 归一化本征函数是 （10） 时，的关系是 归一化本征函数是 （11） 是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解运用矩阵算符 ， ， （12） 13 本征方程式是 14 的本征矢是 , 15 补白本征矢包含一个不定的 相位因式，由于可以取任意值，因此的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。
5.若为泡利矩阵，证明，并求 （1）在表象中的归一化本征函数；
（2）在表象中的归一化本征函数；
证由对易关系 及 反对易关系 ， 得 上式两边乘，得 ∵ ∴ （1）在表象中，的矩阵是 因此的本征值是1，而本征矢为都已归一化。
在表象中；
设其本征值为l，本征矢为 容易求得相应的归一化本征函数为 同理，在表象中，，设其本征值为，本征矢为，则 可求得相应归一化本征函数为 （2）求在表象中。算符，的矩阵形式 在表象中，算符，的矩阵形式为 对坐标轴作一旋转，把原来的z轴换成x轴，x轴换成y轴，y轴换成z轴。根据轮换关系，容易得出在表象中，算符，的矩阵形式为 在表象中的本征值和本征矢设本征值是，则 就有 具有非零解的条件是 当 时 归一化后得 进行归一化得 在的本征值和本征矢设的本征值为，则 具有非零解的条件是 当 时，，归一化后得 当 时，，归一化后得 讨论①大家知道，在表象中，和的本征值都是1，现在又证明了，在表象中，算符，和的本征值仍然是1，这个结果充分说明了算符的本征值不随表象变换而改变的规律。
②在求表象中，，的矩阵表示时，我们是利用x，y，z方向本来是任意选择的，可以经过轮换而得出。除此以外，还可以利用第四章第5题的方法，通过表象变换的方法来求出和在表象中的矩阵表示，结果是完全一致的。
③由于泡利矩阵，，的本征值是1，而，因此容易推得，自旋算符和的本征值是，它们也不随表象变换和改变。
6．设矩阵满足， 1 求证 2 在表象中，求出，得矩阵（设无简并）。
【解】将式左乘，利用，得 同式右乘，利用，得 相加得，同样，将左乘、右乘前述一式，可得 在用表象时，的本征矢是基矢，它满足本征方程式 1 但是本征值，从复用运算于（1）得 但，所以 ；
假定没有简并态，仅有两个本征值，在自身表象中，其矩阵是对角的，矩阵元是本征值1和-1 （2） 设的矩阵 ，将它代入等式 简化为，得 因此是反对角矩阵 （3） 代入条件，有 得 即 得到含有一个待定常数的矩阵 关于另一矩阵也有类似的计算，由于满足和，因此的矩阵（含有一个未定常数的）写作 （5） 待定常数和之间尚需满足题给的约束条件，将它列成矩阵 即,或 解出用的项表示 或 7．满足下列条件的维矩阵,称为矩阵 试求的一般表示式。
【解】设 则 代入题给的第一个条件 化成等效的条件 同理，代入第二个条件 前列出的八个方程式并非完全独立。
容易看出（2）与3是复共轭，（6）（7）也是复共轭式，；
因此只有六个不相关方程式，因 等，又（1）（5）相减，（1）（8）相减，得两个关系式 9 10 根据（1），因此在不失普遍性的情况下，可以设定以下形式 （11） 12 式中必是实数，而，任意实数得相因子，根据（9）和（10），同样可设 （13） （14） 这四个元素满足（1）（4）（5）（8）和（9）（10），但对于（2）或（3），对于（6）或（7）这两个条件的满足，给初相位，，，一些限制，将,,,的表达式代入2得 （15） 如果使用（3）、6、7诸式，实际上得不到新的关系，又将（15）遍乘得 16 其次我们使用题给得第三个独立条件，有 （17） 将（16）的关系代入（17）得 即 因而有 又从（16）得 ， （19） 由此看来，，，只有两个独立，我们若选用和表示各元素，有 8． 9．设氢的状态是 ①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；
②求总磁矩 的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解ψ可改写成 从ψ的表达式中可看出的可能值为 0 相应的几率为 的可能值为 相应的几率为 10．时氢原子处于态 忽略自旋轨道相互作用，（1）求能量，轨道角动量，即自旋角动量的可能取值，相应几率及平均值；
（2）写出时刻波函数。
解容易验证，波函数是归一化的 （1）能量的可能取值 11．证明和组成的正交归一系。
解 0 同理可证其它的正交归一关系。
15．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态和，相应的能量为和。写出体系所有可能的波函数和能量 解体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，，则体系可能的状态为 能量 能量 能量 能量 附（20分）已知氢原子在时处于状态 其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。
解 已知氢原子的本征值为 ， （1） 将时的波函数写成矩阵形式 （2） 利用归一化条件 （3） 于是，归一化后的波函数为 （4） 能量的可能取值为，相应的取值几率为 （5） 能量平均值为 （6） 自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为 （7） 自旋分量的平均值为 （8） 时的波函数 （9）