限时训练（三十九） 一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设，，若，则的取值范围是（ ）. （A） （B） （C） （D） （2）若，则（ ）. （A） （B） （C） （D） （3）设等差数列的前项和为.若，，，则（ ）. （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （4）甲、乙两人相约晚7时到8时之间在某地会面，先到者等候另一人20min，过时离去，则两人能会面的概率是（ ）. （A） （B） （C） （D） （5）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与 轴交于点.若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为（ ）. （A） （B） （C） （D） （6）某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是（ ）. （A） （B） （C） （D） （7）设函数的图像如图所示，则的大小关系是（ ）. （A） （B） （C） （D） （8）函数的部分图像如图所示，若，，且，则（ ）. （A）1 （B） （C） （D） （9）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入的分别为5，4.则输出的等于（ ）. （A）569 （B）2275 （C）2276 （D）2272 （10）已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，在 圆上，则的最小值为（ ）. （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （11）已知是等差数列，数列满足，设为的前项和，若，则当取得最大值时，（ ）. （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 （12）已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得 成立，则实数的取值范围是（）. （A） （B） （C） （D） 二、填空题本题共4小题，每小题5分. （13）在等边中，在方向上的投影为，且，则 ＿＿＿. （14）若四人站在一排照相，不相邻的排法总数为，则二项式的展开式中项的系数为＿＿＿. （15）过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，当最小时，此时点的坐标为＿＿＿. （16）设各项均为正数的数列的前项和满足，又，则数列的前项和＿＿＿. 限时训练（三十九） 答案部分 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D C B A B C C B C B 二、填空题 13. 14. 15. 16. 解析部分 （1）解析 依题意，，，如图所示，若，则.故选C. （2）解析 解法一首先计算分母，由得其共轭复数，根据复数的运算法则（或者根据共轭复数的性质）知，所以. 故选D. 解法二根据共轭复数的性质，为实数，从而也是实数，所以是纯虚数，故排除选项A和B.又，则.故选D. 评注 本题考查考生最熟悉的知识点之一复数及其运算.考生只要知道复数共轭的概念，掌握复数的四则运算法则就能得出正确的答案.同时，本题还可以利用复数及其共轭复数的性质，通过简单的逻辑推理得出正确选项. （3）解析 解法一由题设得，，故等差数列的公差，所以由，，得，解得，.故选D. 解法二等差数列的前项和，故，所以成等差数列，于是，即，解得.故选D. （4）解析 依题意，则设甲到达的时刻为，乙到达的时刻为， 若两人能会面，则，如图所示，所以，两人能会面的概 率为.故选C. （5）解析 解法一如图所示，记得三等分点 （靠近点）的坐标为，则，从而直线的方程为，直线的方程为.由题意，可设直线与直线的交点的坐标为，所以，， 可得，即，得.故选B. 解法二如图所示，记得三等分点为（靠近点）.由轴，知，于是，所以 ① 类似地，有，于是 ② 由得，即，得.故选B. （6）解析 由三视图还原几何体四棱锥，如图所示，由主视图知，设的中点为，则，，且 ，由左视图得，， 在中， ，同理， 在中，， 在中，. 综上，四面体的六条棱中，长度最长的是.故选A. （7）解析 因为函数的定义域为，所以，且，得. 又，因此，所以.故选B. （8）解析 依题意，，，得，所以，， 又函数的图像的对称轴方程为，则， 得，，所以，又，故， 所以.又，， 则，所以， 则.故选C. （9）解析 因为输入的，，故，，满足进行循环的条件；
，，满足进行循环的条件；
，，满足进行循环的条件；
，，满足进行循环的条件；
，，满足进行循环的条件；
，，不满足进行循环的条件，故输出的值为2276.故选C. （10）解析 依题意，由抛物线定义得（到准线），则.故选B. 评注 求圆锥曲线的最值一般用几何法定义法或函数法.本题利用抛物线定义类比，将转化为点到准线的距离是关键，在多次转化过程中，要注意取等号的条件是否同时取得. （11）解析 设等差数列的首项为，公差为，由得，即 ，则，得，.故 .因此，，，，且 ， 所以当时，取最大值.故选C. （12）解析 设，当，，所以在上单调递增，则，即.设，因为对任意，总存在唯一的，使得成立，所以是的不含极值点的单调区间的子集，因为，所以当时，，在上单调递减，若时，，在上单调递增.又因为，所以，解得.故选B. （13解析 因为在方向上的投影为，且为等边三角形，所以 .又，所以，，故 . （14）解析 依题意，不相邻的排法有种，则二项式的展开式中项的系数为. （15）解析 如图阴影部分所示，表示二元一次不等式组确定的平面区域，当最小值时，得也取最小值，此时，即线段最长，也即当点离圆心最远时，最小，此时点位于的交点.故答案为. （16）解析 在中，令可得，还可得， ，所以，即 ，也即， .又，则， 所以是首项为1，公差为2的等差数列，则得， 所以，. 当为偶数时，有 ；
当为奇数时，有. 故.