12.3-角平分线的性质和判定(共66张)教案资料

角平分线的性质 复习提问 1 角平分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 如图 是一个平分角的仪器 其中AB AD BC DC 将点A放在角的顶点 AB和AD沿着角的两边放下 沿AC画一条射线AE AE就是角平分线 你能说明它的道理吗 你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗 探究1 E 角的平分线的作法 证明 在 ACD和 ACB中AD AB 已知 DC BC 已知 CA CA 公共边 ACD ACB SSS CAD CAB 全等三角形的对应边相等 AC平分 DAB 角平分线的定义 尺规作角的平分线 观察领悟作法 探索思考证明方法 A 画法 以 为圆心 适当长为半径作弧 交 于 交 于 分别以 为圆心 大于1 2 的长为半径作弧 两弧在 的内部交于 作射线 射线 即为所求 A 为什么OC是角平分线呢 想一想 已知 OM ON MC NC 求证 OC平分 AOB 证明 在 OMC和 ONC中 OM ON MC NC OC OC OMC ONC SSS MOC NOC即 OC平分 AOB 已知 如图 OC是 AOB的平分线 点P在OC上 PD OA PE OB 垂足分别是D E 求证 PD PE 证明 PD OA PE OB 已知 PDO PEO 90 垂直的定义 在 PDO和 PEO中 PD PE 全等三角形的对应边相等 PDO PEO AOC BOCOP OP PDO PEO AAS 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的性质 定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为 A O B P 1 2 1 2PD OA PE OB PD PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 推理的理由有三个 必须写完全 不能少了任何一个 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 定理应用所具备的条件 定理的作用 证明线段相等 如图 AD平分 BAC 已知 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BDCD 判断 练习 如图 DC AC DB AB 已知 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BDCD AD平分 BAC DC AC DB AB 已知 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 不必再证全等 练习 如图 OC是 AOB的平分线 又 PD PE PD OA PE OB 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 在 OAB中 OE是它的角平分线 且EA EB EC ED分别垂直OA OB 垂足为C D 求证 AC BD 在 ABC中 C 90 AD为 BAC的平分线 DE AB BC 7 DE 3 求BD的长 如图 在 ABC中 C 90 AD是 BAC的平分线 DE AB于E F在AC上 BD DF 求证 CF EB 这节课我们学习了哪些知识 小结 1 作已知角的平分线 的尺规作图法 2 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 OC是 AOB的平分线 又PD OA PE OB PD PE 角的平分线上的点到角的两边距离相等 几何语言 1 在Rt ABC中 BD是角平分线 DE AB 垂足为E DE与DC相等吗 为什么 1 如图 DE AB DF BC 垂足分别是E F DE DF EDB 60 则 EBF 度 BE 60 BF 2如图 在 ABC中 C 90 DE AB 1 2 且AC 6cm 那么线段BE是 ABC的 AE DE 角的平分线 6cm 练习 3 已知 ABC中 C 900 AD平分 CAB 且BC 8 BD 5 求点D到AB的距离是多少 A B C D E 你会吗 例已知 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD PE PF分别垂直于AB BC CA 垂足为D E F BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 PD PE 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 同理PE PF PD PE PF 即点P到边AB BC CA的距离相等 A B C M N P 怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点 如图 的 的外角的平分线 与 的外角的平分线 相交于点 求证 点 到三边 所在直线的距离相等 F G H 更上一层楼 如图 由于点D 于点E PD PE 可以得到什么结论 议一议 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 已知 如图 垂足分别是A B PD PE 求证 点P在的角平分线上 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 已知 如图 垂足分别是D E PD PE 求证 点P在的角平分线上 证明 作射线OP 点P在角的平分线上 在Rt PDO和Rt PEO中 HL 全等三角形的对应角相等 OP OP 公共边 PD PE 已知 角平分线的判定 角平分线的判定的应用书写格式 OP是的平分线 PD PE 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 角平分线的性质 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 PD PE 用途 证线段相等 用途 判定一条射线是角平分线 练一练 填空 1 1 2 DC AC DE AB 1 DC AC DE AB DC DE 1 2 DC DE 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 例1 如图 在 ABC中 D是BC的中点 DE AB DF AC 垂足分别是E F 且BE CF 求证 AD是 ABC的角平分线 1 已知 如图 BE AC于E CF AB于F BE CF相交于D BD CD 求证 AD平分 BAC 课堂练习 拓展与延伸 2 已知 BD AM于点D CE AN于点E BD CE交点F CF BF 求证 点F在 A的平分线上 3 已知PA PB 1 2 1800 求证 OP平分 AOB A O B P 1 2 E F E D F M N 例题2 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P也在 A的平分线上 证明 过点P作PD AB于D PE BC于E PF AC于F 证明 过点P作PD PE PF分别垂直于AB BC CA 垂足为D E F BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 已知 PD PE 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 同理PE PF PD PE PF 即点P到边AB BC CA的距离相等 随堂练习 1 已知 如图 ABC的 B的外角的平分线BD和 C的外角平分线CE相交于点P 求证 点P在 BAC的平分线上 D E 2 如图 三条公路相交 现在要修建一加油站 使加油站到三条公路的距离相等 问加油站该选在什么位置上 例1已知 在等腰Rt ABC中 AC BC C 90 AD平分 BAC DE AB于点E 求证 BD DE AC 变式已知AB 15cm 求 DBE的周长 E D C B A 1 直线表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相等 则可供选择的地址有 A 一处B 两处C 三处D 四处 2 已知 BD AM于点D CE AN于点E BD CE交点F CF BF 求证 点F在 A的平分线上 1 画一个已知角的角平分线 及画一条已知直线的垂线 2 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 3 角平分线的判定结论 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 课堂小结 判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 QD OA QE OB QD QE 点Q在 AOB的平分线上 用数学语言表示为 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 QD OA QE OB 点Q在 AOB的平分线上 QD QE 用数学语言表示为 1 全等三角形的性质 对应边 对应角 对应线段相等 周长 面积也相等 2 全等三角形的判定 知识点 一般三角形全等的判定 SAS ASA AAS SSS 直角三角形全等的判定 SAS ASA AAS SSS HL 知识点 3 三角形全等的证题思路 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 QD OA QE OB QD QE 已知 点Q在 AOB的平分线上 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 QD OA QE OB 点Q在 AOB的平分线上 已知 QD QE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 二 角的平分线 1 角平分线的性质 2 角平分线的判定 2 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 PD AB于D PE BC于E PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 同理 PE PF PD PE PF 即点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD AB于D PE BC于E PF AC于F 3 如图 已知 ABC的外角 CBD和 BCE的平分线相交于点F 求证 点F在 DAE的平分线上 证明 过点F作FG AE于G FH AD于H FM BC于M G H M 点F在 BCE的平分线上 FG AE FM BC FG FM 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 又 点F在 CBD的平分线上 FH AD FM BC FM FH 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 FG FH 等量代换 点F在 DAE的平分线上 例题选析 例1 如图 D在AB上 E在AC上 且 B C 那么补充下列一具条件后 仍无法判定 ABE ACD的是 A AD AEB AEB ADCC BE CDD AB AC B 例2 已知 如图 CD AB BE AC 垂足分别为D E BE CD相交于O点 1 2 图中全等的三角形共有 A 1对B 2对C 3对D 4对 D 例4 下面条件中 不能证出Rt ABC Rt A B C 的是 A AC A C BC B C B AB A B AC A C C AB B C AC A C D B B AB A B C 例5 如图 在 ABC中 AD BC CE AB 垂足分别为D E AD CE交于点H 请你添加一个适当的条件 使 AEH CEB BE EH E 证明 课堂练习 1 已知BD CD ABD ACD DE DF分别垂直于AB及AC交延长线于E F 求证 DE DF 证明 ABD ACD EBD FCD 又 DE AE DF AF 已知 E F 900 在 DEB和 DFC中 DEB DFC DE DF 全等三角形的对应边相等 AAS 垂直的定义 等角的补角相等 已知 2 点A F E C在同一直线上 AF CE BE DF BE DF 求证 AB CD 证明 3 如图 在 ABC中 C 900 AD平分 BAC DE AB交AB于E BC 30 BD CD 3 2 则DE 12 c A B D E 4 已知 ABC和 ECD都是等边三角形 且点B C D在一条直线上 求证 BE AD 变式 以上条件不变 将 ABC绕点C旋转一定角度 大于零度而小于六十度 以上的结论海成立吗 5 如图 已知E在AB上 1 2 3 4 那么AC等于AD吗 为什么 解 AC AD 证明 7 如图 已知AC BD EA EB分别平分 CAB和 DBA CD过点E 则AB与AC BD相等吗 请说明理由 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 1 可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段 然后证明剩余的线段与另一条线段相等 割 2 把一个三角形移到另一位置 使两线段补成一条线段 再证明它与长线段相等 补 练习 7 如图 已知 EG AF 请你从下面三个条件中 再选出两个作为已知条件 另一个作为结论 推出一个正确的命题 只写出一种情况 AB AC DE DF BE CF已知 EG AF求证 拓展题 8 如图 已知 A D AB DE AF CD BC EF 求证 BC EF 9 如图 在四边形ABCD中 点E在边CD上 连接AE BE并延长AE交BC的延长线于点F 给出下列5个