要掌握关于可积的有关重要结论，而且要特别注意分段函数在积分论中所体现的十分重要的作用. 1 分段函数的连续性 分段函数是以某些点（分界点）为界用不同的表达式来表示的函数，而在各分段区间上一般是初等函数，在其定义区间上连续，所以讨论分段函数的连续性实质上是讨论它在分界点处是否连续. 1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性 先求在分界点处的左右极限与，再与在此点的函数值比较，若与相等并且等于，则在点连续，否则在点间断. 下面对间断点进行简单讨论. 间断点分为第一类间断点及第二类间断点，其中第一类间断点又可分为可 去间断点和跳跃间断点. （1）可去间断点 若 =，而在点无定义，或有定义但,则称为的可去间断点.例如，对于函数因为，所以为的可去间断点. （2）跳跃间断点 若函数在点的左右极限都存在，但 ，则称点为函数的跳跃间断点.例如，符号函数因为，，即，所以为的跳跃间断点. （3） 第二类间断点 函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点称为第二类间断点.例如，狄利克雷函数其定义域上每一点都是第二类间断点. 例 讨论函数的连续点、间断点及其类型. 解 因为，且， 所以，所以是的连续点. 因为不存在，， 所以为的间断点，为第二类间断点. 故在时处处连续. 1.2 用定义的语言判断函数的连续性 语：若对任给的，，使得当时有 ，则称函数在点连续. 例 证明黎曼函数在内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续. 证明 设为无理数，（不妨设）满足的正整数只有有限个（但至少有一个，比如）使得的有理数只有有限个（至少有一个，如），并设为，，……，取，则对，当为有理数时有，当为无理数时. 于是，对，总有，由的任意性知在任一无理点处都连续. 设为内任一有理数，取，对（无论多么小），在内总可取到无理数，使得, 所以在任何有理点处都不连续. 2 分段函数在分界点处的可微性 分段函数在分界点处的可微性只需判断分段函数在分界点处是否可导即可. 2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性 利用导数定义判断分段函数在分界点处可导性是一种基本方法，直接考虑极限的存在性即可. 例 讨论函数在处的可导性. 解 因为，所以在连续. 因为， 所以在可导且. 2.2 利用命题“函数在可导”判断分段函数在分界点处的可导性 利用此方法判断分段函数在分界点处的可微性要分别讨论在处的左、右导数，根据导数与单侧导数的关系研究其可导性. 例 讨论函数在处的可导性. 解 因为， 所以，即在连续. 因为 所以， ，所以， 从而在处不可导. 2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性 定理 设函数在点的某邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导且. 例 研究函数在分界点与处的可导性. 解 因为，且， 所以=0=，即在处连续. 同理可得 在处连续. 在各区间内分别对求导，得= 因为 ，， 所以，所以即在处可导. 因为 ，， 所以，所以在处不可导. 注 利用此方法时必须先验证在分界点处连续，否则会产生错误结 果.例如考察函数在处的可导性.虽然 ，，但是在处是不可导的，因为在处不连续 . 运用此方法还存在另一局限性，即虽然在点连续但其分段一阶 导数在的左、右极限若不存在的话也无法利用此方法.下面分两种情况进行讨论：
（1） 若及都不存在,并不能说明在点不可导，如：
分析 因为，所以在处连续. 因为即， 所以在可导. 而 所以 与均不存在. （2） 若与一个存在一个不存在，则说明左、右极限不相等，进而在不可导，如：
分析 因为 ， 所以，所以 在连续。
对分段求导，得 所以，， 所以 ，所以 在不可导. 利用导数极限定理讨论分段函数的可导性时要求或存在才可行，否则无法进行.由以上讨论，可得出判断分段函数在分界点处的可微性的一般思路是：若在处不连续，则在处不可导；
若在处连续，按分界点的左、右侧不同解析式，利用单侧导数定义分别求其左右导数，或按分界点左、右侧的导函数不同解析式分别求其左、右极限，只有当函数左、右导数或导函数左、右极限存在且相等时在处才可导. 3 分段函数的可积性 3.1 分段函数的不定积分与定积分 分段函数在连续区间上是可积的，如何求其不定积分与定积分呢？关键在于求分段函数的一个原函数，则， .下面简单介绍其求法. 3.1.1 分段函数的不定积分 例 求 解 令 所以 因为在，与连续，所以在上连续. 又因为连续函数有原函数，即存在，使得且 在连续， 所以 得 即 令，得则为的 一个原函数，所以. 3.1.2 分段函数的定积分 定理 若函数在上可积，在上连续，且除有限个点外有，,则在上可积且，这称为牛顿—莱布尼茨公式，也常写成. 例 求，其中 解 . 3.2 分段函数可积性的有关结论 只有有限个间断点的有界函数必可积. 每个有第一类间断点的函数没有原函数. 证明 设在上只有有限个间断点，不失一般性，只证明 在上仅有一个间断点的情形，并假设该间断点为， ，取满足且，其中与分别为在上的上确界与下确界（设，否则为常量函数，显然可积），记在小区间上的振幅为，则， 因为在连续，所以在上可积， 所以存在对的某个分割使得. 令，则是对的一个分割，对于有， 所以在上可积. 设为的第一类间断点，且假设在有原函数， 则，所以. 同理可得 , 所以在连续.与已知矛盾，即假设不成立， 所以每个有间断点的函数没有原函数. （3） 积分区间具有可加性,即在上可积的充要条件是：对，在与上均可积，且. （4） 可积不一定有原函数，有原函数不一定可积. 如 令则为只有有限个间断点的有界函数, 所以在上可积. 又因为有第一类间断点，所以没有原函数， 即在上无原函数. 令则 令则有一个原函数,