解直角三角形 一.选择题 1．（2016山东省菏泽市3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且ABAC5，A′B′A′C′3，若∠B∠B′90，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（ ） A．259B．53C．D．53 【考点】互余两角三角函数的关系． 【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B∠C，∠B′∠C′，根据三角函数的定义得到ADABsinB，A′D′A′B′sinB′，BC2BD2ABcosB，B′C′2B′D′2A′B′cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论． 【解答】解过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′， ∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形， ∴∠B∠C，∠B′∠C′，BC2BD，B′C′2B′D′， ∴ADABsinB，A′D′A′B′sinB′，BC2BD2ABcosB，B′C′2B′D′2A′B′cosB′， ∵∠B∠B′90， ∴sinBcosB′，sinB′cosB， ∵S△BACADBCABsinB2ABcosB25sinBcosB， S△A′B′C′A′D′B′C′A′B′cosB′2A′B′sinB′9sinB′cosB′， ∴S△BACS△A′B′C′259． 故选A． 【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式． 2. （2016重庆市A卷4分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i12.4，那么大树CD的高度约为（参考数据sin36≈0.59，cos36≈0.81，tan36≈0.73）（ ） A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米 【分析】作BF⊥AE于F，则FEBD6米，DEBF，设BFx米，则AF2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DEBF5米，AF12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果． 【解答】解作BF⊥AE于F，如图所示 则FEBD6米，DEBF， ∵斜面AB的坡度i12.4， ∴AF2.4BF， 设BFx米，则AF2.4x米， 在Rt△ABF中，由勾股定理得x2（2.4x）2132， 解得x5， ∴DEBF5米，AF12米， ∴AEAFFE18米， 在Rt△ACE中，CEAEtan36180.7313.14米， ∴CDCE﹣DE13.14米﹣5米≈8.1米；
故选A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；
由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 3. （2016浙江省绍兴市4分）如图，在Rt△ABC中，∠B90，∠A30，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【分析】设BCx，由含30角的直角三角形的性质得出AC2BC2x，求出ABBCx，根据题意得出ADBCx，AEDEABx，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AMADx，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果． 【解答】解如图所示设BCx， ∵在Rt△ABC中，∠B90，∠A30， ∴AC2BC2x，ABBCx， 根据题意得ADBCx，AEDEABx， 作EM⊥AD于M，则AMADx， 在Rt△AEM中，cos∠EAD；
故选B． 4. （2016重庆市B卷4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i1，则大楼AB的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.45） A．30.6B．32.1C．37.9D．39.4 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GHDE15米，EGDH，设BHx米，则CHx米，在Rt△BCH中，BC12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH6米，CH6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AGEG620（米），即可得出大楼AB的高度． 【解答】解延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示 则GHDE15米，EGDH， ∵梯坎坡度i1， ∴BHCH1， 设BHx米，则CHx米， 在Rt△BCH中，BC12米， 由勾股定理得x2（x）2122， 解得x6，∴BH6米，CH6米， ∴BGGH﹣BH15﹣69（米），EGDHCHCD620（米）， ∵∠α45， ∴∠EAG90﹣4545， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AGEG620（米）， ∴ABAGBG6209≈39.4（米）；
故选D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；
通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键． 二.填空题 1．（2016山东省菏泽市3分）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DECE，连接BE，则tan∠EBC ． 【考点】正方形的性质；
等腰直角三角形；
解直角三角形． 【专题】计算题． 【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DECEa，根据等腰直角三角形的性质得CDCEa，∠DCE45，再利用正方形的性质得CBCDa，∠BCD90，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CFEFCEa，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解． 【解答】解作EF⊥BC于F，如图，设DECEa， ∵△CDE为等腰直角三角形， ∴CDCEa，∠DCE45， ∵四边形ABCD为正方形， ∴CBCDa，∠BCD90， ∴∠ECF45， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴CFEFCEa， 在Rt△BEF中，tan∠EBF， 即∠EBC． 故答案为． 【点评】本题考查了正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质． 2. （2016湖北荆州3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为1848′，测得塑像顶部A处的仰角为45，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD10米，则此塑像的高AB约为 58 米（参考数据tan7812′≈4.8）． 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案． 【解答】解如图所示由题意可得 CE⊥AB于点E，BEDC， ∵∠ECB1848′， ∴∠EBC7812′， 则tan7812′4.8， 解得EC48（m）， ∵∠AEC45，则AEEC，且BEDC10m， ∴此塑像的高AB约为AEEB58（米）． 故答案为58． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键． 三.解答题 1. （2016湖北随州8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60，求雕像AB的高度． 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可． 【解答】解如图， 过点E作EF⊥AC，EG⊥CD， 在Rt△DEG中，∵DE1620，∠D30， ∴EGDEsin∠D1620810， ∵BC857.5，CFEG， ∴BFBC﹣CF47.5， 在Rt△BEF中，tan∠BEF， ∴EFBF， 在Rt△AEF中，∠AEF60，设ABx， ∵tan∠AEF， ∴AFEFtan∠AEF， ∴x47.5347.5， ∴x95， 答雕像AB的高度为95尺． 2. （2016吉林7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α43，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数） （参考数据sin430.68，cos430.73，tan430.93） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】先利用平行线的性质得到∠Bα43，然后利用∠B的正弦计算AB的长． 【解答】解如图，∠Bα43， 在Rt△ABC中，∵sinB， ∴AB≈1765（m）． 答飞机A与指挥台B的距离为1765m． 3. （2016江西8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OAOB10cm． （1）当∠AOB18时，求所作圆的半径；
（结果精确到0.01cm） （2）保持∠AOB18不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm） （参考数据sin9≈0.1564，cos9≈0.9877，sin18≈0.3090，cos18≈0.9511，可使用科学计算器） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）根据题意作辅助线OC⊥AB于点C，根据OAOB10cm，∠OCB90，∠AOB18，可以求得∠BOC的度数，从而可以求得AB的长；
（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AEAB，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决． 【解答】解（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示， 由题意可得，OAOB10cm，∠OCB90，∠AOB18， ∴∠BOC9 ∴AB2BC2OBsin9≈2100.1564≈3.13cm， 即所作圆的半径约为3.13cm；
（2）作AD⊥OB于点D，作AEAB，如下图3所示， ∵保持∠AOB18不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等， ∴折断的部分为BE， ∵∠AOB18，OAOB，∠ODA90， ∴∠OAB81，∠OAD72， ∴∠BAD9， ∴BE2BD2ABsin9≈23.130.1564≈0.98cm， 即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm． 4