陕西吴堡吴堡中学高中数学第二章平面向量的坐标运算例题讲解素材北师大必修4.doc

平面向量的坐标运算 学习了向量的坐标表示后，我们可以把向量运算代数化.将数与形紧密结合起来，从而使许多问题转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化.下面举例说明平面向量的坐标运算在解几类题中的应用. 一、两向量相等问题 例1 已知向量和向量的对应关系可用表示，求证对任意向量及常数，恒有＋成立． 证明设，， 则， ， 成立． 点评两个向量相等，对于用坐标表示的向量，就是这两个向量的坐标相同.为应用题设条件，必须用坐标表示向量，通过坐标进行运算，从而解决问题. 二、点的坐标问题 例2 如图1，已知正方形的顶点的坐标分别为，求点的坐标． 解过作轴的垂线，垂足分别为， 由是正方形可知． 易知，， 即点的坐标为． 设，则． 由，得解得故点． 点评解决本题的关键在于把握好向量相等或向量加、减运算的坐标表示与图形表示之间的关系，运用“数形结合”的思想转化解题. 三、三点共线问题 例3 过原点的直线与函数的图象交于两点，过分别作轴的垂线交函数的图象于两点．求证三点在一条直线上． 证明设，则， 根据已知与共线， ． 又根据题设条件可知， ． ， 与共线，即三点在一条直线上． 点评本题将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式.通过构设点的坐标，改用向量的坐标运算来论证，十分简捷、新颖、巧妙. 四、几何问题 例4 已知的面积为，分别为边上的点， 且，且交于，求的面积． 解如图2，以为原点，为轴建立直角坐标系． 设， 则，，， ． 点和分别共线， 存在和，使，． 又， 由②得，代入①，化简得． ，，． 于是，的面积为，的面积为， 故的面积为． 点评本题是通过建立直角坐标系，构设点的坐标后转化为向量的坐标运算，确定出点的位置来求解的，体现了数学建模思想的运用. 3