2.会利用描点法画出二次函数的图像；
1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；
2.能从函数图像上认识函数的性质；
3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；
4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；
1.能用二次函数解决简单的实际问题；
2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；
例题精讲 一、二次函数与圆综合 【例1】 已知抛物线与轴相交于两点， 且． （Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；
若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式． 【解析】（Ⅰ）解法一由题意得，． 解得，． 为正整数，∴．∴． 解法二由题意知，当时，． （以下同解法一） 解法三， ． 又．∴．（以下同解法一．） 解法四令，即， ∴．（以下同解法三．） （Ⅱ）解法一． ，即． ， ∴．解得． ∴的取值范围是． 解法二由题意知，当时， ． 解得． ∴的取值范围是． 解法三由（Ⅰ）的解法三、四知，． ∴ ∴．∴的取值范围是． （Ⅲ）存在． 解法一因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧， ∴． 由切割线定理知，， 即．∴， ∴∴． 解法二连接．圆心所在直线， 设直线与轴交于点，圆心为， 则． ， ∴ 在中， ． 即．解得 ． （Ⅳ）设，则． 过分别向轴引垂线，垂足分别为． 则． 所以由平行线分线段成比例定理知，． 因此，，即． 过分别向轴引垂线，垂足分别为， 则．所以．． ．． ，或． 当时，点．直线过， 解得 当时，点．直线过， 解得 故所求直线的解析式为，或． 【例2】 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 并且线段CM的长为 （1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。
（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
【解析】（1）解法一由已知，直线CMy－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2）， 所以c2，抛物线的顶点M在直线CM上， 所以，解得或 若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以．即M 过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在 所以，，解得，。
∴所求抛物线为或以下同下。
解法二由题意得,设点M的坐标为 ∵点M在直线上，∴ 由勾股定理得，∵ ∴，即 解方程组，得， ∴或 当时，设抛物线解析式为，∵抛物线过点， ∴，∴ 当时，设抛物线解析式为 ∵抛物线过点，∴，∴ ∴所求抛物线为 或 （2）∵抛物线与x轴有两个交点， ∴不合题意，舍去。
∴抛物线应为 抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得 （3）∵AB是⊙N的直径，∴r ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN 4 设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN 4，可得MN DN，∴ ，作NG⊥CM于G，在 r 即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切 【例3】 已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过，两点． ⑴试用含的代数式表示；
⑵设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙内，它所在的圆恰与相切，求⊙半径的长及抛物线的解析式；
⑶设点是满足中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点，使得若存在，求出点的坐标；
若不存在，说明理由． 【解析】⑴解法一∵一次函数的图象与轴交于点 ∴点的坐标为， ∵抛物线经过、两点 ∴，，∴ 解法二∵一次函数的图象与轴交于点 ∴点的坐标为 ∵抛物线经过、两点 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴，∴ ⑵由抛物线的对称性可知， ∴点在⊙上，且 又由知抛物线的解析式为 ∴点的坐标为 ①当时， 如图，设⊙被轴分得的劣弧为，它沿轴翻折后所得劣弧为，显然 所在的圆与⊙关于轴对称，设它的圆心为 ∴点与点也关于轴对称 ∵点在⊙上，且与⊙相切 ∴点为切点，∴ ∴ ∴为等腰直角三角形，∴ ∴点的纵坐标为，∴ ∴ ∴抛物线的解析式为 ②当时， 同理可得 抛物线的解析式为 综上，⊙半径的长为，抛物线的解析式为或 ⑶ 抛物线在轴上方的部分上存在点，使得 设点的坐标为，且 ①当点在抛物线上时如图 ∵点是⊙的优弧上的一点 ∴，∴ 过点作轴于点，∴， ∴，∴ 由解得舍去 ∴点的坐标为 ②当点在抛物线上时如图，同理可得， 由解得舍去 ∴点的坐标为 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或 点评本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆⊙，并充分利用轴对称的性质．本题考点1．直线与圆的位置关系切线的性质；
2．轴对称；
3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；
5．二次函数解析式的确定． 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点， 是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为秒． ⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；
⑵当为何值时，直线与相切并写出此时点和点的坐标；
⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由． 【解析】⑴ 由题意得，，的坐标分别为，，． 设抛物线解析式为，则 ∴，，． ∴所求抛物线为． 对称轴为直线． ⑵ 设时，与⊙切于点． 连结，，，则，． 又，分别平分和 而， ∴，∴ ∵，∴∽ ∴即，∴ 由于时间只能取正数，所以 即当运动时间时，与⊙相切 此时，，， ⑶ 点关于直线的对称点为， 则直线的解析式为 ∴直线交直线于，，此时最小，∴， 【例5】 如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点．已知抛物过点和，与轴交于点． ⑴ 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值． ⑶ 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式． 【解析】⑴由已知，得，， ∵抛物线过点和， 则，解得 则抛物线的解析式为，故． 说明抛物线的大致图象要过点、、，其开口方向、顶点和对称轴相对准确 ⑵如图①，抛物线对称轴是 ． ∵，抛物线上，∴． 过点作轴于点，则，， ∴． 又∵与关于对称轴l对称， ∴的最小值． C A M B x y O D E Q P K 图① l C A M B x y O D E 图② ⑵当在第四象限时，如图②，连结和． 由已知，得 ． 是的切线，∴，则． 又∵，∴． ∴． 又在和中， ，则． 设所在直线的解析式为，过点，， ∴，解得 直线的解析式为． 又∵直线过原点，且，则的解析式为． 当在第一象限时，易得四边形为矩形，此时， ∴直线的解析式为 点评本题难度不大，第⑵问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；
第⑶问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条．考点1．二次函数解析式的确定；
2．轴对称；
3．切线的性质；
4．一次函数解析式的确定． 【例6】 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点，直线的函数表达式为，与相交于点．是一个动圆，圆心在直线上运动，设圆心的横坐标是．过点作轴，垂足是点． ⑴ 填空直线的函数表达式是 ，交点的坐标是 ，的度数是 ；
⑵ 当和直线相切时，请证明点到直线的距离等于的半径，并写出 时的值． ⑶ 当和直线不相离时，已知的半径，记四边形的面积为其中点是直线与的交点．是否存在最大值若存在，求出这个最大值及此时的值；
若不存在，请说明理由． 【解析】⑴ ，， ⑵ 设和直线相切时的一种情况如图甲所示，是切点，连接，则． 过点作的垂线，垂足为， 则， 所以． 当点在射线上，和直线相切时，同理可证． 取时，，或． ⑶ 当和直线不相离时，则，由⑵知，分两种情况讨论 ① 如图乙，当时， ， 当时，满足，有最大值． 此时或． ② 当时， 显然和直线相切，即时，最大． 此时． 综合以上①和②，当或时，存在S的最大值，其最大面积为 点评本题共3问，这3问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第⑶问时要先确定的取值范围，然后分类讨论．考点1．一次函数解析式的确定；
2．等边三角形的判定及性质；
3．直线与圆的位置关系；
4．全等三角形；
5．两函数图象交点坐标的确定；
6．二次函数的最值． 【答案】（1），，；
（2）或；
（3）当或时，存在S的最大值，其最大面积为 【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与 二次函数的图象交于两点在的左侧，且点坐标为．平行于轴的直线过点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；
⑵ 判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
⑶ 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小最小面积是多少 【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2006年，山东潍坊 【解析】⑴ 把代入得， ∴一次函数的解析式为；
∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴， ∴设二次函数解析式为， ∴把代入得，∴二次函数解析式为． ⑵ 由，解得或，∴，， 过点分别作直线的垂线，垂足为，， 则， ∴直角梯形的中位线长为， 过作垂直于直线于点，则，， ∴， ∴的长等于中点到直线的距离的2倍， ∴以为直径的圆与直线相切． ⑶ 平移后二次函数解析式为， 令，得，，， ∵过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点， ∴要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离， 此时，半径为2，面积为， 设圆心为中点为，连，则， 在三角形中，， ∴，而，∴ ∴当时，过三点的圆面积最小，最小面积为 点评本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第23问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用．考点1．一次函数，二次函数解析式的确定；
2．直线与圆的位置关系，3．二次函数图象的平移；
4．圆心的性质；
5．点到直线垂线段最短． 【答案】（1）一次函数的解析式为；
二次函数解析式为．（2）以为直径的圆与直线相切．（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为 【例8】 如图1，的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在上运动． ⑴ 当点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线与相切；
⑵ 当直线与相切时，求所在直线对应的函数关系式；
⑶ 设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值． 【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定，坐标与面积 【难度