有理数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念. 2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识. 4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用. 5. 体会数学知识中体现的一些数学思想. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类 （1）按定义分类 （2）按性质分类 要点诠释（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值 （1代数意义一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2几何意义一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则 （1）加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-ba-b ． （3）乘法法则①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即abab≠0 ． （5）乘方运算的符号法则①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 6有理数的混合运算顺序①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释“奇负偶正”口诀的应用 （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如－[－（－3）]－3， －[（－3）]3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如（－3）（－2）（－6）－36，而（－3）（－2）636． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；
指数为偶数，则幂为正，例如 ， ． 2．运算律 （1）交换律 ① 加法交换律abba；
②乘法交换律abba；
（2）结合律 ①加法结合律 abcabc；
②乘法结合律（ab）cabc （3）分配律abcabac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有（1）数轴比较法；
（2）法则比较法正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小；
3 作差比较法．（4）作商比较法；
（5倒数比较法． 要点四、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如200 000． 2.近似数接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释 （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【典型例题】 类型一、有理数相关概念 1．若一个有理数的1相反数；
（2）倒数；
3绝对值；
4平方；
5立方，等于它本身．则这个数分别为1________；
2________；
3________；
4________；
（5）________． 【答案】（1）0；
21和-1；
3正数和0；
41和0；
5-1、0和1 【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全. 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三 【高清课堂有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】 【变式】1的倒数是 ；
的相反数是 ；
的绝对值是 . -（-8）的相反数是 ；
的相反数的倒数是_____. 2某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 _ ；
如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 . 3 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m／min. 4 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____ . 5 近似数0.4062精确到 位，近似数 5.47105精确到 位，近似数3.5万精确到 位， 3.4030105精确到千位是 . 【答案】（1）；
；
；
-8；
2 （2）降价5.8元，70.2 元；
（3）；
（4）3；
（5）万分；
千；
千；
3.40105 2．（2015春射洪县月考）如果|x3||y﹣4|0，求x2y的值． 【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x、y的值代入代数式化简计算即可． 【答案与解析】 解∵|x3||y﹣4|0， ∴x30，y﹣40， 解得，x﹣3，y4， x2y﹣3425． 【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键． 3．在下列两数之间填上适当的不等号 ________． 【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小． 【答案】＜ 【解析】法一作差法 由于，所以 法二倒数比较法因为 所以 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用． 举一反三 【变式】比较大小1________0.001；
2________-0.68 【答案】（1）＜ （2）＞ 类型二、有理数的运算 4．（2016厦门）计算． 【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果． 【答案与解析】 解原式108﹣25 102﹣10 2． 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算． 举一反三 【变式】（2014秋埇桥区校级期中）﹣33（﹣5）16（﹣2）3﹣|﹣45|（﹣0.625）2． 【答案】 解原式﹣27（﹣5）16（﹣8）﹣|﹣20|02 135﹣2﹣200 113． 类型三、数学思想在本章中的应用 5．（1）数形结合思想有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系． A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a （2）分类讨论思想已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值． （3）转化思想计算 【答案与解析】 解（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为a＜1＜-a． 所以正确选项为D． （2）因为| x|＝5，所以x为-5或5 因为|y|＝3，所以y为3或-3． 当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5--3＝8 当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8 当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5--3＝-2 故（x-y）的值为2或8 （3）原式 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；
分类讨论中注意分类的两条原则分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；
转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”． 举一反三 【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数为什么 【答案】解当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；
当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；
当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0． 所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数． 类型四、规律探索 6．将1，，，，，，，按一定规律排列如下 请你写出第20行从左至右第10个数是________． 【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律． 【答案】 【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有12320＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；
又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．