点直线与圆的位置关系 1、 选择题 1．（2016海南3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P40，则∠ABC的度数为（ ） A．20 B．25 C．40 D．50 【考点】切线的性质． 【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数． 【解答】解如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO90． 又∵∠P40， ∴∠∠PAO50， ∴∠ABC∠PAO25． 故选B． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径． 2. （2016山东潍坊3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ） A．10 B．8C．4D．2 【考点】切线的性质；
坐标与图形性质． 【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可． 【解答】解如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H． ∵⊙M与x轴相切于点A（8，0）， ∴AM⊥OA，OA8， ∴∠OAM∠MH0∠HOA90， ∴四边形OAMH是矩形， ∴AMOH， ∵MH⊥BC， ∴HCHB6， ∴OHAM10， 在RT△AOM中，OM2． 故选D． 3. （2016湖北荆州3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB80，则∠ADC的度数是（ ） A．15 B．20 C．25 D．30 【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案． 【解答】解；
如图， 由四边形的内角和定理，得 ∠BOA360﹣90﹣90﹣80100， 由，得 ∠AOC∠BOC50． 由圆周角定理，得 ∠ADC∠AOC25， 故选C． 【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出是解题关键，又利用了圆周角定理． 2、 填空题 1.（2016黑龙江哈尔滨3分）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE6，OA5，则线段DC的长为 4 ． 【考点】切线的性质． 【分析】OC交BE于F，如图，有圆周角定理得到∠AEB90，加上AD⊥l，则可判断BE∥CD，再利用切线的性质得OC⊥CD，则OC⊥BE，原式可判断四边形CDEF为矩形，所以CDEF，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD的长． 【解答】解OC交BE于F，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB90， ∵AD⊥l， ∴BE∥CD， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴OC⊥BE， ∴四边形CDEF为矩形， ∴CDEF， 在Rt△ABE中，BE8， ∵OF⊥BE， ∴BFEF4， ∴CD4． 故答案为4． 2. （2016内蒙古包头3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A30，PC3，则BP的长为 ． 【考点】切线的性质． 【分析】在RT△POC中，根据∠P30，PC3，求出OC、OP即可解决问题． 【解答】解∵OAOC，∠A30， ∴∠OCA∠A30， ∴∠COB∠A∠ACO60， ∵PC是⊙O切线， ∴∠PCO90，∠P30， ∵PC3， ∴OCPCtan30，PC2OC2， ∴PBPO﹣OB， 故答案为． 3. （2016湖北随州3分）如图（1），PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2PAPB．请应用以上结论解决下列问题如图（2），PAB、PCD分别与⊙O2相交于A、B、C、D四点，已知PA2，PB7，PC3，则CD ． 【考点】相似三角形的判定与性质；
切线的性质． 【分析】如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T，根据PT2PAPBPCPD，求出PD即可解决问题． 【解答】解如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T． ∵PT2PAPBPCPD， ∵PA2，PB7，PC3， ∴273PD， ∴PD ∴CDPD﹣PC﹣3． 4. （2016四川攀枝花）如图，△ABC中，∠C90，AC3，AB5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ． 【考点】切线的性质． 【分析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；
然后由三角形的面积间的关系（S△ABOS△BODS△ABDS△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可． 【解答】解过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F． ∵AB、BC是⊙O的切线， ∴点E、F是切点， ∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OEOF；
在△ABC中，∠C90，AC3，AB5， ∴由勾股定理，得BC4；
又∵D是BC边的中点， ∴S△ABDS△ACD， 又∵S△ABDS△ABOS△BOD， ∴ABOEBDOFCDAC，即5OE20E23， 解得OE， ∴⊙O的半径是． 故答案为． 【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 5．（2016四川南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 mm． 【分析】根据已知条件得到CM30，AN40，根据勾股定理列方程得到OM40，由勾股定理得到结论． 【解答】解如图，设圆心为O， 连接AO，CO， ∵直线l是它的对称轴， ∴CM30，AN40， ∵CM2OM2AN2ON2， ∴302OM2402（70﹣OM）2， 解得OM40， ∴OC50， ∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm． 故答案为50． 【点评】本题考查的圆内接四边形，是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合进行解答是解答此题的关键． 5.（2016黑龙江齐齐哈尔3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C 45 度． 【考点】切线的性质；
平行四边形的性质． 【分析】连接OD，只要证明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A45，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题． 【解答】解；
连接OD． ∵CD是⊙O切线， ∴OD⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AB⊥OD， ∴∠AOD90， ∵OAOD， ∴∠A∠ADO45， ∴∠C∠A45． 故答案为45． 三、解答题 1. （2016湖北随州8分）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DEDB． （1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD15，BE10，tanA，求⊙O的直径． 【考点】直线与圆的位置关系；
垂径定理；
相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD90，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EGBE5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDGsinA，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果． 【解答】（1）证明连接OB， ∵OBOA，DEDB， ∴∠A∠OBA，∠DEB∠ABD， 又∵CD⊥OA， ∴∠A∠AEC∠A∠DEB90， ∴∠OBA∠ABD90， ∴OB⊥BD， ∴BD是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DG⊥BE于G， ∵DEDB， ∴EGBE5， ∵∠ACE∠DGE90，∠AEC∠GED， ∴∠GDE∠A， ∴△ACE∽△DGE， ∴sin∠EDGsinA，即CE13， 在Rt△ECG中， ∵DG12， ∵CD15，DE13， ∴DE2， ∵△ACE∽△DGE， ∴， ∴ACDG， ∴⊙O的直径2OA4AD． 2. （2016湖北武汉8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E． 1 求证AC平分∠DAB；
2 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值． 【考点】切线的性质；
考查了切线的 性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系的应用 【答案】 1 略；
2 【解析】（1）证明连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB． （2）解连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD， ∴COS∠HCF＝，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3． 又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x ∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4 在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2 化简得9x2＋2x－7＝0，解得x＝（另一负值舍去）． ∴． 3. （2016江西8分）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D． （1）求证DCDP；
（2）若∠CAB30，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形说明理由． 【考点】切线的性质；
垂径定理． 【分析】（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE∠DPC∠B，等量代换可得∠DPC∠ACD，可证得结论；
（2）由∠CAB30易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC120，由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AFAOOCCF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形． 【解答】（1）证明连接BC、OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠OCD90， ∴∠OCA∠OCB90， ∵∠OCA∠OAC，∠B∠OCB， ∴∠OAC∠B90， ∵CD为切线， ∴∠OCD90， ∴∠OCA∠ACD90， ∴∠B∠ACD， ∵PE⊥AB， ∴∠APE∠DPC∠B， ∴∠DPC∠ACD， ∴APDC；
（2）解以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；
∵∠CAB30，∴∠B60