2020年福建省高考模拟试题（1）数学（理科）试卷 （考试时间120分钟；
满分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 考试说明本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共21道题。满分值150分，考试时间120分钟。考生只交第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设，集合，，则下列结论正 确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（ ） A． B. C. D. A B C D A1 B1 C1 D1 H G K L E 3．如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是（ ） H B C D 4．已知是虚数单位，使为实数的最小正整数为（ ） A． B． C． D． 5．已知则等于（ ） A． B． C． D． 6．下列说法中,不正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件；
B．命题，，则，；
C．命题“若都是偶数，则是偶数”的否命题是“若不是偶数，则不是偶数”；
D．命题所有有理数都是实数,正数的对数都是负数，则为真命题. 7．已知实数满足,给出下列关系式 ① ② ③其中可能成立的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 否 开始 是 结 束 输出n a3151，b1.105,n2008 a 8000 nn1 8．福建泉州市2020年的生产总值约为 3151亿元人民币，如果从此泉州市生产 总值的年增长率为10.5，求泉州市最早 哪一年的生产总值超过8000亿元人民币 某同学为解答这个问题设计了一个程序框图， 但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染 而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的 内容应是 （ ） A． B． C． D． 9．设函数的定义域为R，若对于给定的正数，定义函数 则当函数,时，的值为（ ） A． B． C．D． 10．若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为（ ） A B C D 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题本大共5小题,每小题4分，满分20分. 11. 某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2020年北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2020年广州亚运会志愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们 的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 ． 12. 如图，在矩形中，为中点，抛物线 的一部分在矩形内，点为抛物线顶点，点在抛物线上，在矩形 内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 . 13. 上海世博园中的世博轴是一条1000长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 . C B 世博轴 A中国馆 120 14. 若实数、满足 且的最小值为，则实数的值为_____. 15．若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则数列为等比数列,通项为____________________. 三、解答题本大题共6小题,1619各13分，2021各14分，满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分13分） 泉州市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制定评 分标准，每年对本市的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次， 并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入万元改造，由于自身技术原因， 能达到以上四个等次的概率分别为，且由此增加的产值分别为万元、 万元、万元、万元.设该企业当年因改造而增加利润为. Ⅰ在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少 （Ⅱ）求的数学期望. 评估得分 评定等级 不合格 合格 良好 优秀 奖惩（万元） 17．（本题满分13分） 第17题图 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且满足 . （Ⅰ）当时，求证平面平面；
（Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥的体积 恒为定值；
（Ⅲ）求异面直线与所成的角的余弦值. A B C D E F 18．（本题满分13分） 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记. （1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度；
（3）当取何值时，污水净化效果最好并求出此时管道的长度. 19．（本题满分13分）已知椭圆（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”． （1）求证在黄金椭圆（）中，、、成等比数列． （2）黄金椭圆（）的右焦点为，为椭圆上的 任意一点．是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足若存在，求直线的斜率；
若不存在，请说明理由． （3）在黄金椭圆中有真命题已知黄金椭圆（）的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．试写出“黄金双曲线”的定义；
对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明． 20．（本题满分14分） 已知二次函数和“伪二次函数” （、、）， （I）证明只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为， （i）求证；
（ii）对于“伪二次函数”，是否有（i）同样的性质证明你的结论. 21．本题有1、2、3三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中. 1本小题满分7分 选修4一2矩阵与变换 若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵． 2本小题满分7分 选修4一4坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1与曲线C2（t∈R）交于A、B两点．求证OA⊥OB． 3本小题满分7分 选修4一5不等式选讲 求证,. 2020年福建省高考模拟试题（1） 数学（理科）试卷 一、选择题本题主要考查基础知识和基本运算． 1．B2．C3．D4．D5．B6．C7．C8．B9．D10．A 二、本大题共4个小题；
每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算． 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为，则 4分 （Ⅱ）依题意，的可能取值为则 ， 则其分布列为 10分 ∴（万元） 13分 第18题图 18．解 方法一、证明（Ⅰ）∵正方体中，面， 又∴平面平面， 2分 ∵时，为的中点，∴， 又∵平面平面， ∴平面， 又平面，∴平面平面．4分 （Ⅱ）∵， 为线段上的点， ∴三角形的面积为定值，即， 6分 又∵平面，∴点到平面的距离为定值，即， 8分 ∴三棱锥的体积为定值，即． 也即无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；
10分 （Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面， 又平面，∴， 12分 即异面直线与所成的角为定值，从而其余弦值为．13分 方法二、如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系． （Ⅰ）当时，即点为线段的中点，则，又、 ∴，，设平面的法向量为，1分 则，即，令，解得， 2分 又∵点为线段的中点，∴，∴平面， ∴平面的法向量为， 3分 ∵， ∴平面平面， 4分 （Ⅱ）略；
（Ⅲ）∵，∴， 10分 又、、， ∴，， 11分 ∵ 12分 ∴不管取值多少，都有，即异面直线与所成的角的余弦值为0.13分 18．（1）解，，. 由于，，所以，所以. 所以，.4分 （2）解当时，，（米）. 7分 （3）解，设，则，所以.由于，所以.由于在上单调递减，所以当即或时，取得最大值米. 答当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米. 13分 19．（1）证明由及，得 ，故、、成等比数列．（3分） （2）解由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为， 得，又，及，得点的坐标为，（5分） 因为点在椭圆上，所以，又，得， ，故存在满足题意的直线，其斜率．（6分） （3）黄金双曲线的定义已知双曲线，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”．（8分） 在黄金双曲线中有真命题已知黄金双曲线的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、．（10分） 证明直线的方程为，原点到该直线的距离为， 将代入，得，又将代入，化简得， 故直线与圆相切，同理可证直线、、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．（13分） 20．解（I）如果为增函数,