弹性力学精简PPT.ppt

弹性力学 上海大学 2020年4月7日 第一节弹性力学的基本任务第二节弹性力学的基本假设第三节弹性力学的基本概念 第一章緖论 板 壳和实体 较精确分析杆 与材料力学等的关系 相同 基本任务 分析 校核 优化 区别 第一节弹性力学的基本任务 1 研究对象 材料力学 研究杆状结构 结构力学 研究杆系结构 弹性力学 2 研究方法 例如 对于高度较大的梁 深梁 材料力学基于平面假设的公式不再成立 弹性力学不引用平面假设 得到较为精确的答 对于带孔的拉伸构件平面假设也不再成立 应力的分布是不均匀的 弹性力学的计算表明 在孔边发生应力集中 弹性力学 较少的假设 得出较精确的结果 材料力学 较多的假设 得出近似的结果 第二节弹性力学的基本假设 1 连续性假设 2 完全弹性假设 3 均匀性假设 4 各向同性假设 5 小变形假设 应力 应变和位移等物理量可用连续函数表示 假定物体服从胡克定律 材料常数不随位置坐标变化 物体内一点的弹性性质在各个方向上相同 可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸 x y z o 第三节弹性力学的基本概念 1 体力 方向与正轴方向一致为正 2 面力 方向与正轴方向一致为正 1 外力 正面 外法线方向与坐标轴正向一致 负面 外法线方向与坐标轴正向相反 yx 第一下标y表示作用面 第二下标x表示作用方向 y yx yz 2 应力符号规定 y 其下标y表示作用面和作用方向 正面上 应力方向与正轴方向一致为正 负面上 应力方向与正轴方向相反为正 2 应力 y o x z 1 单元体 x y z正面上的应力分量表示如图 凡正面上的应力沿坐标正向为正 逆坐标正向为负 x y z o x y z o 3 9个应力分量 独立分量6个 4 已知6个应力分量 可求得任意斜截面上的应力 凡负面上的应力沿坐标负向为正 沿坐标正向为负 注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的 图示中 弹性力学里 切应力都为正 而材料力学中相邻两面的的符号是不同的 弹性力学 材料力学 1 正应变 单位长度的伸缩 伸长为正 x y z o 3 形变 x方向上的正应变 x 2 剪应变 线段间直角的变化 直角变小为正 x与y方向上的线段间直角的变化 xy 4 位移 x方向的位移 uy方向的位移 vz方向的位移 w 与正轴方向一致为正 3 已知6个应变分量 可确定该点的应变状态 第二章平面问题的基本理论 要点 建立平面问题的基本方程 包括 平衡微分方程 几何方程 物理方程 变形协调方程 边界条件的描述 方程的求解方法等 一 平面应力问题与平面应变问题 Problemsofplanestressandplanestrain 1 平面应力问题 1 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多 平板 如 板式吊钩 旋转圆盘 工字形梁的腹板等 2 受力特征 外力 体力 面力 和约束 仅平行于板面作用 沿z方向不变化 3 简化的应力特征 如图选取坐标系 以板的中面为xy平面 垂直于中面的任一直线为z轴 由于板面上不受力 有 因板很薄 且外力沿z轴方向不变 可认为整个薄板的各点都有 由剪应力互等定理 有 结论 a 平面应力问题只有三个应力分量 b 应变分量 位移分量也仅为x y的函数 与z无关 c 2 平面应变问题 1 几何特征 水坝 滚柱 厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多 且沿长度方向几何形状和尺寸不变化 近似认为无限长 2 外力特征 外力 体力 面力 平行于横截面作用 且沿长度z方向不变化 约束 沿长度z方向不变化 可近似为平面应变问题的例子 煤矿巷道的变形与破坏分析 挡土墙 重力坝等 水坝 3 简化的变形特征 如图坐标系 以任一横截面为xy面 任一纵线为z轴 设z方向为无限长 则 沿z方向都不变化 仅为x y的函数 任一横截面均可视为对称面 则有 水坝 平面应变问题 c 结论 a b 如图所示三种情形 是否都属平面问题 是平面应力问题还是平面应变问题 平面应力问题 平面应变问题 非平面问题 两类平面问题 平面应力问题 平面应变问题 几何特征 受力特征 应力特征 几何特征 受力特征 应变特征 外力 应力 形变 位移 基本假定 1 连续性假定 2 线弹性假定 3 均匀性假定 4 各向同性假定 5 小变形假定 注意 剪应力正负号规定 掌握这些假定的作用 基本概念 t 1 AC BC 二 平面问题的平衡微分方程 Equilibriumequations Dividedtheequationbydxdy Dividedtheequationbydxdy when 直角坐标下的应力平衡微分方程 说明 1 两个平衡微分方程 三个未知量 超静定问题 需找补充方程才能求解 2 对于平面应变问题 x y方向的平衡方程相同 z方向自成平衡 上述方程两类平面问题均适用 3 平衡方程中不含E 方程与材料性质无关 钢 石料 混凝土等 4 平衡方程对整个弹性体内都满足 undeed deed 注 这里略去了二阶以上高阶无穷小量 建立 平面问题中应变与位移的关系 一点的变形 线段的伸长或缩短 线段间的相对转动 考察P点邻域内线段的变形 三 几何方程 Thegeometricalequations NormalstrainofPA NormalstrainofPB ShearstrainofpointP P点两直角线段夹角的变化 几何方程Thegeometricalequations 建立 平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称 本构方程 本构关系 物性方程 在完全弹性和各向同性的情况下 物性方程即为材料力学中的广义虎克 Hooke 定律 其中 E为拉压弹性模量 G为剪切弹性模量 为侧向收缩系数 又称泊松比 四 物理方程 1 平面应力问题的物理方程 由于平面应力问题中 平面应力问题的物理方程 注 1 2 物理方程的另一形式 2 平面应变问题的物理方程 由于平面应变问题中 平面应变问题的物理方程 注 由式虎克定律第三式 得 3 两类平面问题物理方程的转换 平面应变问题的物理方程 平面应力问题的物理方程 1 平面应力问题 平面应变问题 材料常数的转换为 2 平面应变问题 平面应力问题 材料常数的转换为 平面问题的求解 问题 已知 外力 体力 面力 边界条件 求 仅为xy的函数 需建立三个方面的关系 1 静力学关系 2 几何学关系 3 物理学关系 应变与应力间的关系 应力与体力 面力间的关系 应变与位移间的关系 建立边界条件 平衡微分方程 几何方程 物理方程 1 应力边界条件 2 位移边界条件 五 边界条件 Boundaryconditions 1 弹性力学平面问题的基本方程 1 平衡方程 2 几何方程 3 物理方程 未知量数 8个 方程数 8个 结论 在适当的边界条件下 上述8个方程可解 2 边界条件及其分类 边界条件 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系 是力学计算模型建立的重要环节 边界分类 1 位移边界 2 应力边界 3 混合边界 三类边界 1 位移边界条件 位移分量已知的边界 位移边界 用us vs表示边界上的位移分量 表示边界上位移分量的已知函数 则位移边界条件可表达为 平面问题的位移边界条件 说明 称为固定位移边界 2 应力边界条件 给定应力边界面力分量 由 又 l m为边界外法线关于x y轴的方向余弦 平面问题的应力边界条件 在边界上取直角三角形微元体PAB 其斜面AB与边界面重合 N为其法线 得 则 3 混合边界条件 1 物体上的一部分边界为位移边界 另一部为应力边界 2 物体的同一部分边界上 其中一个为位移边界条件 另一为应力边界条件 图 a 位移边界条件 应力边界条件 图 b 位移边界条件 应力边界条件 特殊边界应力边界条件 垂直x轴边界 垂直y轴边界 例1 如图所示 试写出其边界条件 q 1 2 3 平面问题的基本方程 1 平衡微分方程 2 几何方程 3 物理方程 平面应力问题 4 边界条件 位移 应力 问题的提出 求解弹性力学问题时 使应力分量 形变分量 位移分量完全满足8个基本方程相对容易 但要使边界条件完全满足 往往很困难 如图所示 其力的作用点处的应力边界条件无法列写 1 静力等效的概念 两个力系 若它们的主矢量 对于同一点的主矩相等 则两个力系为静力等效力系 这种等效只是从平衡的观点而言的 对刚体来而言完全正确 但对变形体而言一般是不等效的 3 圣维南原理 Saint VenantPrinciple 2 圣维南原理 Saint VenantPrinciple 原理 若把物体的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力 则近处的应力分布将有显著改变 而远处所受的影响可忽略不计 只能在次要边界上用圣维南原理 在主要边界上不能使用 注意事项 必须满足静力等效条件 图a是一端固支 一端受集中力作用的杆件 其厚度为1mm 容易计算出杆内的应力为100MPa 图b是该杆件的应力分布图 不同的颜色代表不同的应力值 由于上部固定端和下部加力端的影响 明显看出从上部固定端向下大约20mm区域内应力并不是均匀分布 在杆的下端 从集中力作用处向上大约25mm的区域内应力也不是均匀分布的 图b中 只有杆中间部分横截面上的应力才是均匀分布的 且其大小为100MPa 圣维南原理说 力作用于杆端的分布方式 只影响杆端局部范围的应力分布 影响区的轴向范围约离杆端1 3个杆的最大横向尺寸 例 图示矩形截面水坝 其右侧受静水压力 顶部受集中力作用 试写出水坝的应力边界条件 例 图示矩形截面水坝 其右侧受静水压力 顶部受集中力作用 试写出水坝的应力边界条件 左面 代入 右面 代入应力边界条件公式 有 左右面为主要边界 须精确满足 注意 例 图示矩形截面水坝 其右侧受静水压力 顶部受集中力作用 试写出水坝的应力边界条件 上端面 上端面为次要边界 可近似满足 由圣维南原理求解 y方向力等效 对O点的力矩等效 x方向力等效 注意 必须按正向假设 上端面 方法2 取图示微元体 可见 与前面结果相同 由微元体的平衡求得 六 按位移求解平面问题 1 弹性力学平面问题的基本方程 1 平衡方程 2 几何方程 3 物理方程 4 边界条件 1 2 2 弹性力学问题的求解方法 1 按位移求解 位移法 刚度法 以u v为基本未知函数 将平衡方程和边界条件都用u v表示 并求出u v 再由几何方程 物理方程求出应力与应变分量 2 按应力求解 力法 柔度法 以应力分量为基本未知函数 将所有方程都用应力分量表示 并求出应力分量 再由几何方程 物理方程求出应变分量与位移 3 混合求解 以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数 将 并求出这些未知量 再求出其余未知量 3 按位移求解平面问题的基本方程 1 将平衡方程用位移表示 由应变表示的物理方程 将几何方程代入 有 a 将式 a 代入平衡方程 化简有 2 将边界条件用位移表示 位移边界条件 应力边界条件 a 将式 a 代入 得 说明 1 对平面应变问题 只需将式中的E 作相替换即可 2 一般不用于解析求解 作为数值求解的基本方程 3 按位移求解平面问题的基本方程 1 平衡方程 2 边界条件 位移边界条件 应力边界条件 七 按应力求解平面问题相容方程 1 变形协调方程 相容方程 按应力求解的未知函数 平衡微分方程 2个方程 3个未知量 为超静定问题 需寻求补充方程 将几何方程 作如下运算 显然有 变形协调方程 或相容方程 即 必须满足上式才能保证位移分量u v的存在与协调 才能求得这些位移分量 例 其中 C为常数 显然 此组位移分量不能满足形变协调方程 因而不能存在 2 变形协调方程的应力表示 1 平面应力情形 将物理方程代入相容方程 得 利用平衡方程将上述化简 a 将上述两边相加 b 将 b 代入 a 得 将上式整理得 应力表示的相容方程 2 平面应变情形 将上式中的泊松比 代为 得 平面应力情形 应力表示的相容方程 平面应变情形 注意 当体力X Y为常数时 两种平面问题的相容方程相同 即 3 按应力求解平面问题的基本方程 1 平