简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为 ， 下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。
1. 图解法 第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。
⑴代点法直线AxByC0（c不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；
若不成立，则在另一侧。
⑵B判别法若Ｂ＞0（＜０），则不等式AxByC＞0（＜０）表示的区域在直线AxByC＝0的上方；
若Ｂ＞０（＜０），则不等式AxByC＜０＞0表示的区域在直线AxByC＝0的下方。（即若B与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；
若B与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方） 用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。
第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这个可以用下面的两种办法解决。
⑴y轴上的截距法若，直线所经过可行域上的点使其y轴上的截距最大（最小）时，便是z取得最大值（最小值）的点；
若，直线所经过可行域上的点使其y轴上的截距最大（最小）时，是z取得最小值（最小值）的点（提醒截距不是距离，截距可以取正负）。
例1．设x,y满足约束条件求的最大值、最小值。
解如图1作出可行域，因为y的系数1大于0，目标函数表示直线在y轴上的截距，当直线过A（1，0）时，截距值最大，当直线过点O（0，0）时，截距值最小。
图1 例2．若变量满足约束条件，求的最大值和最小值。
解如图作出可行域，y的系数-2小于0，过点A1,-1时在y轴上的距最小，目标函数取得最大值，所以；
过点B（-1,1）时在y轴上的截距最大，目标函数取得最，所以。
⑵法向量法目标函数的法向量为（A，B），它垂直于目标函数直线的向量。当目标函数的值线沿目标函数法向量方向平移时，目标函数值逐步增加，与可行区域最后（最先）相交的点上取最大值（最小值）；
当等值线沿目标函数法向量反方向平行移动时，目标函数值逐步减少，与可行区域最后（最先）相交的点上取最小值（最大值）。
例3．点Px, y在以A2, 1、B–1, –6、C–3, 2为顶点的三角形区域（包括边界）内，求z 4x–3y的最大值与最小值。
解目标函数z 4x–3y的法向量为（4，-3），目标函数的直线沿法向量的方向平移时，最先与可行域在C点上相交，最后在B点上相交（因为目标函数的等值线从左上角平移过来）。所以目标函数在点C（-3,2）上取最小值，在点B（-1，-6）上取最大值。
图解法虽然直观、形象，它容易使人具体地认识线性规划模型的求解过程，但是，这里难点至少有二；
一是必要考虑y的系数b的正负，否则容易得出反相的结论；
二是要注意直线束的倾斜程度，尤其，要注意与约束条件中的一条或两条只想的倾斜程度的关系，即斜率大小对直线倾斜程度的影响。其中，当斜率为负值时，是学生最感头疼的，也是学生最易出错的。为此，下面介绍通过向量数量积解决线性规划问题的方法，这种方法尽量避开以上两个难点，使解法更直观，更简单，更不易出错。
2. 向量的数量积法 把看成平面内的向量与的数量积，即。因为为定值，所以当且仅当取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值），即当且仅当在上的射影取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值）（注意在正方向上的射影是正值，在负方向上的射影是负值）。这样目标函数在约束条件下的最大值（最小值）问题，就转化为研究点O与可行域内的任意一点N所组成的向量在上的射影的最大值（最小值）问题。即线性规划最大值（最小值）问题就转化为一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）问题。
例4．若实数，满足，求的最小值。
解设是向量与的数量积。因为，所以当且仅当取最小值时z取最小值，即当且仅当在上的射影OP取最小值时，取得最小值。如图，当点N与点B（4，-2）重合时，在负方向上的射影OP取最小值，所以最小值为。
3. 顶点法 目标函数的最优解肯定在可行区域的顶点上（这个命题可以证明）。因此，首先求约束表示的可行区域顶点的坐标，代入目标函数，然后从计算出来的几个函数值里面选最大（或最小）的即可。把约束条件中的每两个不等式组成一个方程组，方程组的解是两条边界线的交点。有些交点肯能不属于可行区域，所以每个交点必须代入约束条件检验不等式是否成立。若不成立排除这个交点（它不属于可行区域）；
若成立它是可行区域的顶点。
例5.求满足线性约束条件的目标函数的最大值和最小值。
解先找出约束条件表示的可行区域的顶点。
，，，，，的解分别为A（1,1），B（0,3），C（，0），D（0，），E（3,0），F（0,0）。其中B和E不满足约束条件，所以排除。可行区域是以点A，C，D，F为顶点的四边形。
，，， 所以，目标函数在A（1,1）上取最大值，在F（0,0）上取最小值。
（提醒若约束条件包含不等式的个数不超过3，边界线的交点属于可行区域。所以不需检验；
若不等式的个数超过3，必须检验） 共4页，第4页