例2、 正方体，且，求证EF//平面ABCD 例3、 如图，已知棱锥P-ABCD，且ABCD为平行四边形，M、N分别是AB，PC的中点 （1）求证CD//平面PAB （2） 求证MN//平面PAD A E B C F S D 练习1、如图，在四棱锥中，底面为正方形， 分别为的中点． 证明平面；
_ N _ M _ A _ B _ D _ C _ O 2、如图，在四棱锥中，底面四边长为菱形， 为的中点，为的中点 证明直线；
例4、如图，在底面 是菱形的四棱锥PABCＤ中，点E是PD的中点. D E P B A C 证明PB∥平面EAC；
练习如图, 在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是AB的中点， 求证AC 1//平面CDB1；
例5正方体求证 练习已知三棱柱，且分别为的中点. 求证平面平面；
二、垂直关系 1.线面垂直判定定理 2．线面垂直性质定理 3.面面垂直判定定理 4.面面垂直性质定理 例1、如图，在底面 是菱形的四棱锥PABCＤ中，∠ABC600，PAACa,PBPD,点E是PD的中点. D E P B A C 证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
练习 1、直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB5，AC4，BC3，AA14，D是AB的中点． A A1 B C D B1 C1 （Ⅰ）求证AC⊥B1C；
（Ⅱ）求证AC1∥平面B1CD；
2、如图所示，垂直矩形所在的平面，分别为的中点. Ⅰ 求证；
P D C B A E F （Ⅱ）求证. 3、如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是正方形． （Ⅰ）求证∥平面；
（Ⅱ）求证平面． 4、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，点 E 是 PD 的中点. （Ⅰ）求证AC⊥PB；
（Ⅱ）求证PB//平面 AEC；
5、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，. 若. （Ⅰ）求证平面；
A B P C D E （Ⅱ）设侧棱的中点是，求证平面. 例2、.（2009卷文）（本小题共14分） 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证平面；
练习1、已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点． （Ⅰ）求证∥平面；
（Ⅱ）求证平面平面． 2、如图，在直三棱柱中，平面侧面. （Ⅰ）求证；
3、如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。
求证（1）EF∥平面ABC；
（2）平面平面. 4、已知直四棱柱的底面是菱形，且,,F为棱的中点， M为线段的中点。
⑴ 求证直线平面 ⑵求证直线平面 3求证平面平面 5、在四面体ABCD 中，CB CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点， 求证（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；
（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ． 6、如图，在四棱锥中, 底面 是的中点. A P E B C D I证明；
II证明平面；
7、、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB，AF1，M是 线段EF的中点。
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；
8、如图，四棱锥中，⊥底面， ⊥．底面为梯形，，.，点在棱上，且． （Ⅰ）求证平面⊥平面；
（Ⅱ）求证∥平面；
例3、如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC∠PBC90 （Ⅰ）证明AB⊥PC （Ⅱ）若，且平面⊥平面， 求三棱锥体积。
练习 1.（2011西城一模文16）. （本小题满分13分） A B C D F E 如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，. Ⅰ求证平面；
Ⅱ求证平面；
（Ⅲ）求四面体的体积. 2、在棱长为的正方体中，，，分别为棱，和的中点． （Ⅰ）求证∥平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）试在棱上求一点， 使⊥平面． 3、（2011二模文17）（本小题满分13分） 在长方形中，，，分别是，的中点（如左图）.将此长方形沿对折，使平面平面（如右图），已知，分别是，的中点. C1 BA CA A A1 B12A BA CA A DA EA A1 B12A C1 （Ⅰ）求证∥平面；
（Ⅱ）求证平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积. 4．（2012年高考（文））如图1,在Rt△ABC中,∠C90,D,E分别是AC,AB上的中点, 点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2. 1求证DE∥平面A1CB; 2求证A1F⊥BE; 3线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ说明理由. 5．（2011文）（17）（本小题共14分） 如图，在四面体中，点分别是棱的中点。
（Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）求证四边形为矩形；
（Ⅲ ）是否存在点，到四面体六条棱的中点的距离相等说明理由。
【解析】证明（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC。又因为DE平面BCP，所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点， 所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四边形DEFG为平行四边形， 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形。
（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下连接DF，EG，设Q为EG的中点 由（Ⅱ）知，DF∩EGQ，且QDQEQFQGEG. 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q， 且QMQNEG，所以Q为满足条件的点. 6. 在直三棱柱中，，.点分别是，的中点，是棱上的动点. （Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）若//平面，试确定 点的位置，并给出证明. I 证明∵在直三棱柱中，，点是的中点， ∴ 1分 ,, ∴⊥平面 3分 平面 ∴，即 5分 又 ∴平面 6分 （II）当是棱的中点时，//平面.7分 证明如下 连结,取的中点H，连接, 则为的中位线 ∴∥，8分 ∵由已知条件，为正方形 ∴∥， ∵为的中点， ∴11分 ∴∥，且 ∴四边形为平行四边形 ∴∥ 12分 又∵ ∴//平面 14分 7. 如图所示，在正方体中，是棱的中点． E A B C D B1 A1 D1 C1 （Ⅰ）证明平面平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点， 使//平面证明你的结论． 解 （Ⅰ）证明 因为多面体为正方体， 所以；
因为，所以． 2分 又因为，，所以.4分 因为,所以平面平面. 6分 （Ⅱ）当点F为中点时，可使//平面. 7分 以下证明之 易知//，且， 9分 设，则//且, 所以//且， 所以四边形为平行四边形. 所以//. 11分 又因为，． 所以//面