4.1 平面向量的概念及线性运算 学考考查重点 1.考查平面向量的概念、线性运算；
2.考查向量运算的几何意义，向量共线的应用． 本节复习目标 1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；
2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系． 教材链接自主学习 1． 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有 又有 的量；
向量的大小叫做向量的 或称 平面向量是自由向量 零向量 长度为 的向量；
其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于 的向量 非零向量a的单位向量为 平行向量 方向 或 的非零向量 0与任一向量 共线向量 方向 或 的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则或几何意义 运算律 加法 求两个向量和的运算 满足交换律 a＋b＝b＋a. 结合律a＋b＋c＝a＋b＋c. 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋－b 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 1|λa|＝|λ||a|；
2当λ0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ＝0时，λa＝0 λμa＝λμa；
λ＋μa＝λa＋μa；
λa＋b＝λa＋λb 3. 共线向量定理 向量aa≠0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 基础知识自我测试 1． 若a＝“向东走8 km”，b＝“向北走8 km”，则|a＋b|＝_____；
a＋b的方向是_____． 2. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝____________. 3． 已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________． 4． 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么 A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 5． 2012四川设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是 A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 题型分类深度剖析 题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题 ①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________． 变式训练1下列命题中正确的是 A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 题型二 向量的线性运算 例2 如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 变式训练2 （1）在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于 A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c （2）（2014福建卷） 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于 A. B．2 C．3 D．4 题型三 共线向量定理及应用 例3 设两个非零向量a与b不共线， 1若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－b，求证A、B、D三点共线；
2试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 变式训练3 （1）（2013年陕西卷）已知向量 , 若 ,则实数m等于（ ） A．B．C．或D．0 （2） 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 题型四 交点问题 例4 如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与 BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量. 4