成都外国语学校18-19下高2020级高三入学考试试题 数学（理工类） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则A∩B的元素有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知复数 为虚数单位，则的虚部为 A．－1 B．0 C．1 D．i 3.已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的方程为 A. B. ,C. D. 4．函数有且只有一个零点的充分不必要条件是 A． B． C. D． 5.已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是 A． B． C． D． 6．某几何体的正视图和侧视图如图①所示，它的俯视图的直观图是 ，如图②所示，其中，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 7．已知圆和两点． 若圆上存在点，使得 ，则的最大值为 A．7 B．6 C．5 D．4 8.如果执行右边框图，，则输出的数与输入的的关系是（ ） A. B. C. D. 9．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的值为 A．3 B. C．2 D. 10.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为 A． B． C． D. 11． 如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使 ，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为 ． A． B． C． D. 12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。. 13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生． 14、若 ，则________. 15.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 16.中，角，，所对边分别为，，.是边的中点，且，，，则面积为 ． 三、解答题本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知数列的前项和为，且，，成等差数列，． （l）求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 18.如图，点是菱形所在平面外一点，平面，，，． （Ⅰ）求证平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值． 19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（1,2，，6），如表所示 试销单价（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量（件） 84 83 80 75 68 已知． （Ⅰ）求出的值；
（Ⅱ）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；
（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望． （参考公式线性回归方程中，的最小二乘估计分别为, 20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3． （1）求椭圆的方程；
（2）动直线与椭圆交于A,B两点，在平面上是否存在定点P，使得当直线PA与直线PB的斜率均存在时，斜率之和是与无关的常数若存在，求出所有满足条件的定点P的坐标；
若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分12分）设函数，其中a∈R． （1）讨论的单调性；
（2）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得 试判断与的大小关系并给出证明． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.选修4-4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（），且曲线与直线有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求；
（Ⅱ）设、为曲线上的两点，且，求的最大值． 23.选修4-5不等式选讲 已知函数的最大值（）． （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若（，），试比较与的大小． 成都外国语学校高2020级高三下入学考试答案 数学（理工类） 第Ⅰ卷 一、选择题 1-5 BCAAA 6-10 CBABC 11-12 DA 二、填空题 13、37 14、 15、 16、 三、解答题本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，①2分 所以．② ①－②，得，所以．4分 又当时，，所以，所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即．6分 （2）根据（1）求解知，，，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列．7分 又因为，，，，，，，， ，，，9分 所以 ．12分 18.（Ⅰ）证明取中点，连交于，连，． 在菱形中，， ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，分别是，的中点，∴，， 又，，∴，， ∴四边形是平行四边形，则，∴平面， 又平面，∴平面平面． （Ⅱ）解由（Ⅰ）得平面，则，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设是平面的一个法向量，则即 取，得，，∴， 设是平面的一个法向量， 同理得，． ∴， ∴二面角的余弦值为． 19.解（Ⅰ），可求得． （Ⅱ）， ， 所以所求的线性回归方程为． （Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，． 与销售数据对比可知满足（1,2，，6）的共有3个“好数据”、、． 于是的所有可能取值为，，，． ；
；
；
， ∴的分布列为 0 1 2 3 于是． 20. 解1 设椭圆的半焦距为c，则，且．由解得．2分 依题意，，于是椭圆的方程为．4分 2设，设，与椭圆方程联立得 则有6分 直线PA,PB的斜率之和 9分 当时斜率的和恒为0，解得11分 综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为或．12分 21. 解（1）函数fx的导函数2分 情形一 a⩽0．此时，于是fx在上单调递增；
3分 情形二 a0．此时fx在上单调递增，在上单调递减．4分 （2）函数fx存在极值，因此a0．根据题意，有 5分 而6分 故只需要比较与的大小． 令，则．当时，，故在1,＋∞上单调递增．因此，当时，． 于是，，即．9分 于是10分 又在上单调递减，因此进而． 22.解（Ⅰ）直线的普通方程是， 曲线的直角坐标方程是， 依题意直线与圆相切，则，解得或， 因为，所以． （Ⅱ）如图，不妨设，，则，， ， 所以，即，时，最大值是． 23.解（Ⅰ）由于 的最大值为，故. （Ⅱ）∵，且，， ∴， 当且仅当，即，等号成立． 所以.