山东省高密市第三中学高三数学 6.1向量的线性运算复习导学案 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 具有大小和方向的量；
向量的大小叫做向量的长度或模 如a， 零向量 长度等于零的向量；
其方向不确定 记作0 单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0. a0＝ 共线平行向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b 平行记作a∥b 相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如＝a 相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则或几何意义 运算律 加法 求两个向量和的运算 1交换律a＋b＝b＋a；
2结合律a＋b＋c＝a＋b＋c． 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋－b 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 1|λa|＝|λ||a|；
2当λ0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 λμa＝λμa；
λ＋μa＝λa＋μa；
λa＋b＝λa＋λb 3. 平行向量基本定理 如果a＝λb，则a∥b；
反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 课前自测 1． 判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“” 1向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． 2|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关． 3已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2. 4△ABC中，D是BC中点，则＝＋． 5向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． 6当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立． 2． 2020四川设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是 A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 3．设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________． 典例分析 题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题 ①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________． 给出下列命题 ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0λ为实数，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 平面向量的线性运算 例2 1如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的 一个三等分点，那么等于 A.－ B.＋ C.＋D.－ 2在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于 A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 1已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于 A．2－ B．－＋2 C.－ D．－＋ 2设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则 A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 题型三 共线向量定理及应用 例3 设两个非零向量a与b不共线， 1若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－b，求证A、B、D三点共线；
2试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 当堂检测1． 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于 A．30 B．60 C．90 D．120 3． 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于 A．1 B. C. D. 课后巩固 一、选择题 1． 下列命题中正确的是 A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 2． 已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是 A．A、B、C B．A、B、D C．B、C、D D．A、C、D 二、填空题 3． 设向量e1，e2不共线，＝3e1＋e2，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论①A，B，C共线；
②A，B，D共线；
③B，C，D共线；
④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________． 4． 在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________.用a，b表示 三、解答题 5． 如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝ ，＝a，＝b. 1用a、b表示向量，，，，；
2求证B，E，F三点共线．