1．以下角①异面直线所成角；
②直线和平面所成角；
③二面角的平面角；
可能为钝角的有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个D．3个 2. 一种冰激凌机的模型上半部分是半球，下半部分是圆锥，其三视图 如图所示，则该型号蛋糕的表面积是（ ） A． B． C． D． 3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和 上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A. ＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋ 4.已知两不同直线与三不同平面，下列条件能推出∥的是（ ） A．且 B． ，， C． 且 D．,,, 5.下面四个说法中，正确的个数为（ ） ①三点确定一个平面；
②在平面外，其三边延长线分别和交于,则一定共线；
③一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等；
④在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分。
A．1 B．2 C．3 D．4 6. 在正三棱柱底面是正三角形，侧棱和底面垂直中，,则异面直线与成角的大小为（ ） A．60B．90 C．105D．75 7. 如图，空间四边形的对角线相等，顺次连接各边中点 ,则四边形一定是（ ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．空间四边形 8．是从点引出的三条射线，两两夹角为，则直线 和平面 所成角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 9．异面直线所成角为，直线，且也与异面， 则直线与所成的角的范围为 （ ） A． B． C．D． 10. 有一个长方体容器,装的水占恰好占其 容积的一半；
表示水平的桌面,容器一边紧贴桌面， 沿将其翻转使之略微倾斜，最后水面阴影部分与其各 侧棱的交点分别是（如图），则下列对翻转后水形成 的几何体形状说法正确的是 （ ） A．棱台 B．棱柱 C．棱锥 D．和容器尺寸有关，不能确定 11. 如图，矩形的长，宽，若平面， 矩形的边上至少有一个点,使得，则的范围是（ ） A． B． C．D． 12.我们知道，在平面直角坐标系中，方程表示的图形是一条直线，具有特定性质“在轴，轴上的截距分别为”；
类比到空间直角坐标系中，方程表示的点集对应的图形也具有某特定性质，设此图形为，则坐标原点到的距离是（ ） A． B． C． D． 二、填空题本大题共四小题，每小题4分，共16分。请将最简结果填在横线上。
13.所在平面外一点满足, 则在平面上的射影必为的_______心． 14．如图，平面直角坐标系中，,,将其 所在纸面沿轴折成直二面角，则折起后的两点的距 离是 ． 15．球放在墙角（两墙面，地面分别两两垂直），紧靠墙面和底面，球心到墙角顶点的距离是，则球的体积是 ．（半径为的球体积公式） 16.关于图中的正方体，下列说法正确的有___________________． ①点在线段上运动，棱锥体积不变；
②一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三 角形；
③一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则此四边形必有一 边平行；
④平面截正方体得到一个六边形（如图），则截面在平面 与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。
班级 姓名 考号 座位号 密封线 树德中学高2011级第三学期期中数学试题（文科） 二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将最简结果填在横线上。
13． 14． 15． 16． 三、解答题本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明或演算步骤。
17. 长方体，其左视图沿方向投影，左视图如图． （1）证明；
（2）当长为时，求多面体的体积． 18. 12分两个边长均为的正方形和所在平面垂直相交于，,且.（1）证明平面；
（2）当 时，求的长度． 19．12分如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上不同于的一动点． （1）证明是直角三角形；
（2）若，且当直线与平面所成角正切值 为时，直线与平面所成角的正弦值． 20．12分点是边长为的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角． （1）求的大小；
（2）求二面角的余弦值． 21. 12分随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行。下图是其中一个抽象派雕塑的设计图。图中表示水平地面。线段表示的钢管固定在上；
为了美感，需在焊接时保证线段表示的钢管垂直于, ，且保持与异面。
若收集到的余料长度如下（单位长度），，，按现在手中的材料和设计要求，求与应成的角． 22. 14分一块边长为的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）。
（1）过此棱锥的高以及一底边中点作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为，将表为的函数；
（2）求的最大值及此时的值；
（3）在第（2）问的条件下，设是的中点，问是否存在这样的动点，它在此棱锥的表面（包含底面）运动，且如果存在，在图中画出其轨迹并计算轨迹的长度，如果不存在，说明理由． 树德中学高2011级第三学期期中数学试题（文科）参考答案 一、选择题。
1-5 B A D C B 6-10 B C C A B 11-12 A D 二、填空题。
13．外 14． 15. 16. ①②③ 小题部分可参考课本（如下表） 题号 5 7 10 12 13 14 15 16 必2 P46定理 P53 习题2, P46 例2 及探 究 P46 3 思路类似P137 探究 P67 2 模型来自选2-1P106，例2，P107，练习2）（改简单） 必 第2章各节都出现的构造长（正）方体模思想。
综合P57 例2，P78 第4题，P79 第2题， 三、解答题 17.（1）证明由长方体性质知， 又由左视图知, , 而,...6分直接用三垂线定理也给分 （2）由， 矩形的面积， 又上问已证，到的距离即, 要求的体积是。...12分（用切割前后体积比求亦给分） （此题综合必修2第2章各节都出现的长方体模型） 18. （1）证明法一如图一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂 足，连接PQ，则MP∥AB，NQ∥AB. 所以MP∥NQ，又AM＝NF，AC＝BF，所以MC＝NB. 又∠MCP＝∠NBQ＝45，所以Rt△MCP≌Rt△NBQ， 所以MP＝NQ.故四边形MPQN为平行四边形. 所以MN∥PQ. ..4分 因为PQ∥平面BCE，MN∥平面BCE，所以MN∥平面BCE..6分 法二如图二，过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC. 所以＝.连接NH，由BF＝AC，FN＝AM得＝， 所以NH∥AF∥BE. ..2分 ..4分 因为MN∥平面MNH，所以MN∥平面BCE. ..6分 （2）如上问图二，由比例关系易得 在中，，。...12分 （此题模型来自选修2-1P113，B组第2题） 19. （2）如图，过作,, ,则即是要求的角。..8分 即是与平面所成角，..9分 ，又..10分 在中，,..11分 在中，，即与平面所成角正弦值为。
....12分建直角坐标系或向量法亦给分（此题模型来自必修2P69，例3及探究） 20.解法一（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，． G H M A B C D E F O M H G O F A B E C D 因为二面角D－AC－B为直二面角， 又在中，， ． ．..6分 （2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM． ∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF． ∴就是二面角的平面角．..9分 在RtEGM中，，，， x y z A B C D E F O ∴, 所以，二面角的余弦值为。..12分 解法二（1）建立如图所示的直角坐标系O－xyz， 则，． ． ．..6分 （2）设平面OEF的法向量为． 由得 解得． 所以，．..9分 又因为平面AOF的法向量为，..10分 ．..11分 且根据方向判断，二面角的大小为余弦为。..12分 （此题改编自选修2-1P118，12） 21.解1 解法一设在上的射影为 , 共面，过作 于,则为矩形，..4分 设，则,①..6分 由三垂线定理易知②..8分 将②代入①，得，解得，..10分 于是,,即与所成的角是。..12分 解法二按教师教学用书P102的建坐标系方法（如图）。得到， 设由， ..8分 ，, 且是的一个法向量，根据图中方向可知，与应成角为。..12分 解法三向量法（理科） （此题模型来自选修2-1P113，例9，P111，练习1） 22. 1由题意， 进一步化为（注两个形式的结果都给分）.4分 2 。
当且仅当，即时取得最大值。..9分 （3）存在这样的点的轨迹，下面说明 取的中点，中点，连接,易证明平面。
（可由且也可证，等，均给分）,此时，只要在平面与棱锥的表面的交线上运动，均有。
此时，由中位线性质可知，的周长 在（1）的条件下，。. .14分 （注一找出来，并作图，给2分，说明2分，周长1分） （注二作图顺序和方式可能不同，但目标只要是找过点和直线垂直的平面，与棱锥的表面的交线，即给分，例如上面找平面的过程亦可先连接与交于,过作于，这样找到的过程已经证明了平面是的垂面） （此题改编自必修2P37，4） 6 用心 爱心 专心