课时作业31 数列求和 [基础达标] 1．[2019湖北省四校联考]在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． 1求证数列是等差数列，并求{an}的通项公式；
2求数列的前n项和Sn. 解析1∵an是1与anan＋1的等差中项， ∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝， ∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋， ∵＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列， ∴＝1＋n－1＝n，∴an＝. 2由1得＝＝－， ∴Sn＝＋＋＋＋＝1－＝. 2．[2019福建福州六校联考]已知数列{an}的前n项和Sn＝，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1＝a1＋1，b2－a2＝2. 1求数列{an}，{bn}的通项公式；
2求满足Tn＋an300的最小的n值． 解析1a1＝S1＝1， n1时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n， 又n＝1时，a1＝n成立，∴an＝nn∈N*， 则由题意可知b1＝2，b2＝4， ∴{bn}的公比q＝＝2，∴bn＝2nn∈N*． 2Tn＝＝22n－1，Tn＋an＝22n－1＋n， ∴Tn＋an随n增大而增大， 又T7＋a7＝2127＋7＝261300， ∴所求最小的n值为8. 3．[2019石家庄高中质量检测]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋. 1设bn＝，求数列{bn}的通项公式；
2求数列{an}的前n项和Sn. 解析1由an＋1＝an＋，可得＝＋， 又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1， 累加可得b2－b1＋b3－b2＋＋bn－bn－1＝＋＋＋，即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－. 2由1可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn， 则Tn＝＋＋＋＋ ①， Tn＝＋＋＋＋ ②， ①－②得Tn＝＋＋＋＋－＝－＝2－， ∴Tn＝4－. 易知数列{2n}的前n项和为nn＋1， ∴Sn＝nn＋1－4＋. 4．[2019广州市综合测试]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列． 1求数列{an}的通项公式；
2设数列{bn}满足＋＋＋＝5－4n＋5n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析1因为数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以＝1＋2n－1＝2n－1，所以Sn＝2n2－n. 当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2n－12－n－1]＝4n－3. 当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3. 2当n＝1时，＝，所以b1＝2a1＝2. 当n≥2时，由＋＋＋＝5－4n＋5n，① 得＋＋＋＝5－4n＋1n－1.② ①－②，得＝4n－3n. 因为an＝4n－3，所以bn＝＝2n当n＝1时也符合， 所以＝＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以Tn＝＝2n＋1－2. 5．[2019郑州一中高三入学测试]在等差数列{an}中，已知a3＝5，且a1，a2，a5为递增的等比数列． 1求数列{an}的通项公式；
2若数列{bn}的通项公式 k∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析1设等差数列{an}的公差为d，易知d≠0， 由题意得，a3－2da3＋2d＝a3－d2， 即d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0舍去， 所以数列{an}的通项公式为an＝a3＋n－3d＝2n－1. 2当n＝2k，k∈N*时， Sn＝b1＋b2＋＋bn＝b1＋b3＋＋b2k－1＋b2＋b4＋＋b2k＝a1＋a2＋＋ak＋20＋21＋＋2k－1＝＋＝k2＋2k－1＝＋2－1；
当n＝2k－1，k∈N*时，n＋1＝2k， 则Sn＝Sn＋1－bn＋1＝＋2－1－2－1＝＋2. 综上， k∈N*． 6．[2019安徽省高中联合质量检测]已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a5＝b3. 1求数列{an}，{bn}的通项公式；
2记Sn＝＋＋＋，是否存在m∈N*，使得Sm≥3成立，若存在，求出m，若不存在，请说明理由． 解析1设数列{an}的公差为dd≠0，数列{bn}的公比为q， 则由题意知∴d＝0或d＝2， ∵d≠0，∴d＝2，q＝3，∴an＝2n－1，bn＝3n－1. 2由1可知， Sn＝＋＋＋＝＋＋＋＋＋， Sn＝＋＋＋＋＋，两式相减得，Sn＝1＋＋＋＋－＝1＋－＝2－2，∴Sn3.故不存在m∈N*，使得Sm≥3成立． [能力挑战] 7．[2019山东淄博模拟]已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝19，S10＝100；
数列{bn}对任意n∈N*，总有b1b2b3bn－1bn＝an＋2成立． 1求数列{an}和{bn}的通项公式；
2记cn＝－1n，求数列{cn}的前n项和Tn. 解析1设{an}的公差为d，则a10＝a1＋9d＝19，S10＝10a1＋d＝100. 解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1. 所以b1b2b3bn－1bn＝2n＋1，① 当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，b1b2b3bn－1＝2n－1.② ①②两式相除得bn＝n≥2． 因为当n＝1时，b1＝3适合上式，所以bn＝n∈N*． 2由已知cn＝－1n， 得cn＝－1n ＝－1n， 则Tn＝c1＋c2＋c3＋＋cn ＝－＋－＋＋－1n， 当n为偶数时， Tn＝－＋－＋＋－1n ＝＋＋＋＋ ＝－1＋＝－；
当n为奇数时， Tn＝－＋－＋＋－1n ＝＋＋＋＋ ＝－1－＝－. 综上，Tn＝