二． 思路点拨 1． 求函数极值的步骤 （1） 求导数；
（2）求方程0的根；
（3）检查0的根的左右区间对应的的符号若左正右负，则在这个根处取得极大值；
若左负右正，则在这个根处取得极小值。（注实质为‘解方程’，解关于的方程0） 2． 设函数在上连续，在内可导，求在上的最值的步骤 （1） 求在内的极值；
（2）将各极值与，比较，确定的最大和最小值。
3．求函数的单调区间不等式的解集为的增区间；
不等式的解集为的减区间。（注求函数的单调区间实质上是‘解不等式’） 三．解题训练 （一）．选择题 （1）曲线在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A． B。
C。
D。
2 函数y＝x2＋1的图象与直线y＝x相切，则＝ A． B． C． D．1 3 函数是减函数的区间为 A．B． C． D．（0，2） 4 函数已知时取得极值，则 A．2 B．3 C．4 D．5 5 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 A．3B．2C．1D．0 （6）函数有极值的充要条件是 （ ） A． B． C． D． （7）函数 （的最大值是（ ） A． B． -1 C．0 D．1 （8）函数（－1）（－2）（－100）在＝0处的导数值为（ ） A、0 B、1002 C、200 D、100 （9）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x6y＋10且与曲线y x3＋3x－5相切的直线方程是 。
（2）．设f x x3－x2－2x＋5，当时，f x 7 3、4 -11 4、 5、 6、 7、 8、 三．1．解（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d2， 所以 由在处的切线方程是，知 故所求的解析式是 （Ⅱ） 解得 当 当 故内是增函数， 在内是减函数，在内是增函数. 2．（Ⅰ）解，依题意，，即 解得. ∴. 令，得. 若，则， 故在上是增函数，在上是增函数. 若，则，故在上是减函数. 所以，是极大值；
是极小值. （Ⅱ）解曲线方程为，点不在曲线上. 设切点为，则点M的坐标满足. 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得. 所以，切点为，切线方程为. 3．解依定义 的图象是开口向下的抛物线， 4．解（1）极小值为 （2）①若，则，的图像与轴只有一个交点；
②若， 极大值为，的极小值为， 的图像与轴有三个交点；
③若，的图像与轴只有一个交点；
④若，则，的图像与轴只有一个交点；
⑤若，由（1）知的极大值为，的图像与轴只有一个交点；
综上知，若的图像与轴只有一个交点；
若，的图像与轴有三个交点。
5．解I因为是函数的一个极值点, 所以,即，所以 （II）由（I）知， 当时，有，当变化时，与的变化如下表 1 0 0 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故有上表知，当时，在单调递减， 在单调递增，在上单调递减. （III）由已知得，即 又所以即① 设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， 所以解之得 又 所以 即的取值范围为 6．略 7．解（Ⅰ）， 因为函数在及取得极值，则有，． 即 解得，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ． 当时，；
当时，；
当时，． 所以，当时，取得极大值，又，． 则当时，的最大值为． 因为对于任意的，有恒成立， 所以 ， 解得 或， 因此的取值范围为． 8．解（Ⅰ）， 当时，取最小值， 即． （Ⅱ）令， 由得，（不合题意，舍去）． 当变化时，的变化情况如下表 递增 极大值 递减 在内有最大值． 在内恒成立等价于在内恒成立， 即等价于， 所以的取值范围为 9．解（Ⅰ），由已知， 即解得 ，，，． （Ⅱ）令，即， ，或． 又在区间上恒成立， 10．解设长方体的宽为x（m），则长为2xm，高为 . 故长方体的体积为 从而 令V′（x）＝0，解得x0（舍去）或x1，因此x1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；
当1＜x＜时，V′（x）＜0， 故在x1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
11．解（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1x）元 月平均销售量为件则月平均利润（元） y与x的函数关系式为 （2） 令 当 即函数在上单调递减， 所以函数在取得最大值. 所以改进工艺后，产品的销售价提高的百分率为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 12．解以O为原点，OA所在直线为轴建立直角坐标系（如图） 依题意可设抛物线的方程为 故曲线段OC的方程为 3分 设P（）是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|2，|PN|4－2. 5分 ∴工业园区面积S|PQ||PN|（2）（4－2）8－3－224. 6分 A O B C x y M P N ∴S′－32－44，令S′0 又7分 当时，S′0，S是的增函数；
8分 当）时，S′0，S是的减函数. 9分 时，S取到极大值，此时|PM|2 10分 当 11分 答把工业园区规划成长为宽为时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5km2. 13．解（1） 由题设，得 ① ② ∵ 由①代入②得， 得∴或 ③ 将代入中，得 ④