专题08 数列 1．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则 A．B． C．D． 【答案】A 【解析】由题知，，解得，∴，,故选A． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16B．8 C．4D．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则， 解得，，故选C． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1a，an1an2b，，则 A． 当B． 当 C． 当D． 当 【答案】A 【解析】①当b0时，取a0，则. ②当时，令，即. 则该方程，即必存在，使得， 则一定存在，使得对任意成立， 解方程，得， 当时，即时，总存在，使得， 故C、D两项均不正确. ③当时，， 则， . （ⅰ）当时，， 则， ， ， 则， ， 故A项正确. （ⅱ）当时，令，则， 所以，以此类推， 所以， 故B项不正确. 故本题正确答案为A. 【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解. 4．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5____________． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又， 所以所以． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误． 5．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________. 【答案】4 【解析】设等差数列{an}的公差为d, 因，所以，即， 所以． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2−3，S5−10，则a5__________，Sn的最小值为__________． 【答案】 0，. 【解析】等差数列中,,得又,所以公差,, 由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查. 7．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____. 【答案】16 【解析】由题意可得， 解得，则. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组. 8．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a11，b10，，. （I）证明{anbn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式. 【答案】（I）见解析；
（2），. 【解析】（1）由题设得，即． 又因为a1b1l，所以是首项为1，公比为的等比数列． 由题设得，即． 又因为a1–b1l，所以是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，，． 所以， ． 9．【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、、第im项（i1i2im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若pq，求证；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s1，2，），求数列{an}的通项公式． 【答案】Ⅰ 1,3,5,6（答案不唯一）；
Ⅱ见解析；
Ⅲ见解析. 【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一） （Ⅱ）设长度为q末项为的一个递增子列为. 由p0. 因为ck≤bk≤ck1，所以，其中k1，2，3，，m. 当k1时，有q≥1；
当k2，3，，m时，有． 设f（x），则． 令，得xe.列表如下 x e e，∞ 0 – f（x） 极大值 因为，所以． 取，当k1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力． 12．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足对每个成等比数列． （I）求数列的通项公式；
（II）记 证明 【答案】（I），；
（II）证明见解析. 【解析】（I）设数列的公差为d，由题意得 ， 解得． 从而． 所以， 由成等比数列得 ． 解得． 所以． （II）． 我们用数学归纳法证明． （i）当n1时，c102，不等式成立；
（ii）假设时不等式成立，即． 那么，当时， ． 即当时不等式也成立． 根据（i）和（ii），不等式对任意成立． 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力. 13．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于 A．66B．132 C．66D． 32 【答案】D 【解析】因为，是方程的两根， 所以， 又，所以， ，故选D. 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题. 14．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在[0,∞上的函数fx满足当0≤x2时，fx2x-x2；
当x≥2时，fx3fx-2.记函数fx的极大值点从小到大依次记为a1,a2,⋯,an,⋯,并记相应的极大值为b1,b2,⋯,bn,⋯,则a1b1a2b2⋯a20b20的值为 A．193201B．193191 C．203191D．203201 【答案】A 【解析】由题意当0≤x2时，,极大值点为1，极大值为1， 当x≥2时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列， 故an2n-1.,bn3n-1,故anbn2n-13n-1， 设Sa1b1a2b2⋯a20b201∙13∙315∙32⋯39∙319， 3S1∙313∙32⋯39∙320， 两式相减得-2S123132⋯319-3201231-3191-3-39∙320-2-38∙320 ∴S193201， 故选A. 【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定an及bn的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题. 15．【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列an中，a12，且，则数列{1an-12}前2019项和为 A．40362019B．20191010C．40372019D．40392020 【答案】B 【解析】∵anan-1nan-an-12（n≥2）， ∴， 整理得an-12-an-1-12n， ∴an-12-a1-12nn-1⋯⋯2，又a12， ∴an-12nn12， 可得1an-122nn121n-1n1． 则数列1an-12前2019项和为21-1212-13⋯12019-1202021-1202020191