高中抛物线标准方程及几何性质ppt课件

5 4抛物线 第一节抛物线的标准方程和几何性质 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 一 定义 d 的轨迹是抛物线 则点 e M d MF 1 新课讲解 二 标准方程 如何建立直角坐标系 y o K 设 KF p 设点M的坐标为 x y 由定义可知 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 它的几何意义是焦准距 y o K m n K 若顶点在O1 m n 则方程为 y n 2 2p x m l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 四种抛物线标准方程的异同 共同点 1 原点在抛物线上 2 对称轴为X轴 Y轴 3 准线与对称轴垂直 垂足与焦点分别对称于原点 与原点的距离等于一次项前面的系数的绝对值的1 4 即焦点与准线的距离等于一次项系数的绝对值的一半 不同点 1 对称轴为x轴时 方程右端为 2px 左端为y2 对称轴为y轴时 方程右端为 2py 左端为x2 2 开口方向与x轴 或y轴 的正半轴相同时 焦点在x轴 或y轴 的正半轴上 方程的右端取 号 开口方向与x轴 或y轴 的负半轴相同时 焦点在x轴 或y轴 的负半轴上 方程的右端取 号 O 0 0 A B F p 2 0 L x p 2 K p y2 2px O1 m n A B F h p 2 k L x h p 2 K p y n 2 2p x m 顶点在原点 顶点在点 m n 抛物线草图画法 O 0 0 A B F 0 p 2 L y p 2 K p x2 2py 顶点在原点 顶点在点 m n O1 m n A B F h k p 2 K p x m 2 2p y n L y k p 2 例1 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点M的轨迹方程 如图可知原条件等价于M点到F 4 0 和到x 4距离相等 由抛物线的定义 点M的轨迹是以F 4 0 为焦点 x 4为准线的抛物线 所求方程是y2 16x 分析 例题讲解 例2 已知抛物线方程为x ay2 a 0 讨论抛物线的开口方向 焦点坐标和准线方程 例3 求抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 2 y 6x2 4 已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 3 y x2 4x 3 5 y2 mx 2y 4m 1 0的准线为x 3 求m 例4 抛物线的焦点为F 1 若斜率为1的直线经过点F 与抛物线交于A B两点 求线段AB的长 2 抛物线上有三点A B C 且FA FB FC 0 求 FA FB FC 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 y 2x2 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 注意 求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 跟踪练习 2 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 解 y2 12x 解 y2 x 解 y2 4x或y2 4x或x2 4y或x2 4y 例5 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 1 设抛物线的标准方程为x2 2py 把A 3 2 代入 得p 2 设抛物线的标准方程为y2 2px 把A 3 2 代入 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 1 已知抛物线经过点P 4 2 求抛物线的标准方程 提示 注意到P为第四象限的点 所以可以设抛物线的标准方程为y2 2px或x2 2py 跟踪练习 2 求顶点在 准线为 的抛物线方程和焦点坐标 例6 已知抛物线形古城门底部宽12m 高6m 建立适当的坐标系 求出它的标准方程 引申 1 一辆货车宽4m 高4m 问能否通过此城门 2 若城门为双向行道 那么该货车能否通过呢 三 抛物线的几何性质 F M l N K y O 对于y2 2px p 0 1 范围 2 对称性 关于x轴对称 3 顶点 O 0 0 顶准距 顶焦距 p 2 焦准距 p 4 离心率e 1 F A x1 y1 l A1 K y O 5 焦点弦性质 B x2 y2 B1 三个定值 一个最值 通径 AB 2p最短 二个量 两个圆 以AB为直径的圆与A1B1相切 切点为A1B1的中点N 以A1B1为直径的圆与AB相切 切点为焦点F F A x1 y1 l A1 K y O B x2 y2 B1 N