计数原理-选修2-3第一章第一节

分类加法计数原理 与 分步乘法计数原理 问题1 1 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘 汽车 如果一天中火车有3班 汽车有2班 那么一天 中 乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不 同的走法 问题1 2 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号 总共能够编出多少种不同 的号码 引入课题 探究 你能说说以上两个问题的特征吗 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案 在第1类方 案中有 m种不同的方法 在第2类方案中有n 种不同的方法 那么完成这件事共有N m n 种不同的方法 问题1 3 在填写高考志愿表时 一名高中毕业生了解到 A B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业 具体情 况如下 A大学 B大学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么 这名同学可能的专业选择共有多少种 生物学 数学 变式 若还有C大学 其中强项专业为 新闻学 金融学 人力 资源学 那么 这名同学可能的专业选择共有多少种 分类加法计数原理 探究 如果完成一件事有三类不同方案 在第1类方 案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方 法 在第3类方案中有m3种不同的方法 那么完成这件事 共有多少种不同的方法 如果完成一件事情有n类不同方案 在每一类中都有 若干种不同方法 那么应当如何计数呢 一般归纳 完成一件事情 有n类办法 在第1类办法中有 种不同的方法 在第2类办法中有 种不同的方法 在第n类办法中有 种不同的方法 那么完成这件 事共有 种不同的方法 问题2 1 用前6个大写英文字母和1 9九个阿拉伯数 字 以 的方式给教室里的座位 编号 总共能编出多少个不同的号码 探究 你能说说这个问题的特征吗 分步乘法计数原理 完成一件事需要分二个步骤 在第1步中有 m种不同的方法 在第2步中有n种不同的方 法 那么完成这件事共有 种不同的方法 问题2 2 设某班有男生30名 女生24名 现要 从中选出男 女生各一名代表班级参加比赛 共 有多少种不同的选法 探究 如果完成一件事需要三个步骤 做第1步 有 种不同的方法 做第2步有 种不同的方法 做第3步有 种不同的方法 那么完成这件事 共有多少种不同的方法 如果完成一件事情需要n个步骤 做每一步中都 有若干种不同方法 那么应当如何计数呢 分步乘法计数原理 完成一件事情 需要分成n个步骤 做 第1步有 种不同的方法 做第2步有 种不同 的方法 做第n步有 种不同的方法 那么完成 这件事共有 种不同的方法 分类计数原理 完成一件事 有n类方式 在第1类方式中有m1种不 同的方法 在第2类方式中有m2种不同的方法 在第n类方式 中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn 种不同的方法 分步计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第一步有m1种 不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不 同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的 方法 思考 两个基本计数原理的联系与区别 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 相同点 都是完成一件事的不同方法种数的问题 不同点 分类加法计数原理针对的是 分类 问题 完成一件 事要分为若干类 各类的方法相互独立 各类中的各 种方法也相对独立 用任何一类中的任何一种方法都 可以单独完成这件事 是独立完成 分步乘法计数原理针对的是 分步 问题 完成一件 事要分为若干步 各个步骤相互依存 完成任何其中 的一步都不能完成该件事 只有当各个步骤都完成后 才算完成这件事 是合作完成 综合应用 问题3 2 要从甲 乙 丙3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左 右两边墙上的指定位置 问共有多 少种不同的挂法 问题3 1 书架的第1层放有4本不同的计算机书 第 2层放有3本不同的文艺书 第3层放2本不同的体育书 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同 的取法 从书架上任取两本不同学科的书 有多少种不同 的取法 例1 为了确保电子信箱的安全 在注册时 通常要设置电子信箱密码 在某网站设置的 信箱中 1 密码为4位 每位均为0到9这10个数字 中的一个数字 这样的密码共有多少个 2 密码为4位 每位均为0到9这10个数字 中的一个 或是从A到Z这26个英文字母中的1 个 这样的密码共有多少个 3 密码为4到6位 每位均为0到9这10个数 字中的一个 这样的密码共有多少个 例2 1 4名同学选报跑步 跳高 跳远三 个项目 每人报一项 共有多少种报名方法 2 4名同学争夺跑步 跳高 跳远三个项 目的冠军 共有多少种可能的结果 例3 某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯 问从1楼到5楼共有多少种不同的走法 例4 有n个元素的集合的子集共有多少个 巩固练习 1 填空 一件工作可以用2种方法完成 有5人会用第1种方法完 成 另有4人会用第2种方法完成 从中选出1人来完成这件 工作 不同选法的种数是 从A村去B村的道路有3条 从B村去C村的道路有2条 从 A村经B村去C村 不同的路线有 条 2 现有高中一年级的学生3名 高中二年级的学生5名 高中三年级的学生4名 从中任选1人参加接待外宾的活动 有多少种不同的选 法 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动 有多 少种不同的选法 3 从甲地到乙地有2种走法 从乙地到丙地有4种走 法 从甲地不经过乙地到丙地有3种走法 则从甲地 到丙地的不同的走法共有 种 4 甲 乙 丙3个班各有三好学生3 5 2名 现准 备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学 生代表大会 共有 种不同的推选方法 课堂小结 分类加法计数原理针对的是 分类 问题 完成一件事要 分为若干类 各类的方法相互独立 各类中的各种方法 也相对独立 用任何一类中的任何一种方法都可以单独 完成这件事 是独立完成 分步乘法计数原理针对的是 分步 问题 完成一件事要 分为若干步 各个步骤相互依存 完成任何其中的一步 都不能完成该件事 只有当各个步骤都完成后 才算完 成这件事 是合作完成 注 分类加法计数原理 不重不漏 分步乘法计数原理 步骤完整 课外作业 1 课本第12页的习题1 1A 组 B组 2 思考 将一个四棱锥的每个顶点染上一种 颜色 使同一条棱的两端点异色 如果只有5种 颜色可供使用 那么不同的染么方法总数是多 少 按照S A B C D的顺序分类 第一类 A C涂相同颜色有5 4 3 1 3 180 种 第二类 AC涂不同颜色有5 4 3 2 2 240 种 共有染色方法 180 240 420 种 排数字问题 例5 用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数 2 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数 3 可以组成多少个大于3000 小于5421且各位数 字不允许重复的四位数 升华发展升华发展 变式 1 将数字1 2 3 4 填入标号为1 2 3 4的四个方 格里 每格填一个数字 则每个格子的标号 与所填的数字均不同的填法有 种 2 自然数2520有多少个正约数 映射个数问题 例6 设A a b c d e f B x y z 从A到B 共有多少种不同的映射 变式 1 6个人分到3个车间 共有多少种分发 2 6个人分工栽3棵树 每人只栽1棵 共有多 少种不同方案 染色问题 例7 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色 要求 在 四个区域中相邻 有公共边界 区域中 不用同一种颜色 1 若n 6 为 1 着色时共有多少种方法 2 若为 2 着色时共有120种不同方法 求n 1 2 综合问题 例8 若直线方程ax by 0中的a b可以 从0 1 2 3 4这五个数字中任取两个不同的 数字 则方程所表示的不同的直线共有多 少条 1 要从甲 乙 丙三名工人中选出两名分 别上日班和晚班 有多少种不同的选法 2 某艺术组有9人 每人至少会钢琴和小 号中的一种乐器 其中7人会钢琴 3人会 小号 从中选出会钢琴和会小号的各一人 有多少种不同的选法 3 用红 黄 蓝不同颜色的旗各三面 每 次升一面 两面 三面在某一旗杆上纵向 排列 共可以组成多少种不同的信号 课堂练习 4 1 8张卡片上写着0 1 2 7共8个数 字 取其中的三张卡片排放在一起 可组成 多少个不同的三位数 2 4张卡片的正 反面分别写有0与1 2与3 4与5 6与7 将其中的3张卡片排放 在一起 共有多少个不同的三位数 5 书架上原来并排放着5本不同的书 现要 插入三本不同的书 那么不同的插法有多少 种