南宁三中2020届高三第二次模拟考试 数学试题（文科） 全卷满分150分 考试用时120分钟 一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 3．甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（ ） A. B. C. D. 4．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A.21B. 22C. 23D. 24 5．下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6．如图所示的流程图，最后输出的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7．若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A.B.C.D. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（ ） A.B. C.D. 9．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A.B. C.D. 10．已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离 12．已知当时，关于的方程有唯一实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量与的夹角为，且，则_______. 14．若实数，满足约束条件，则的最小值为__________． 15．设数列的前项和为，且，，则__________． 16．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的余弦值为_______． 三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本题满分12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且 （Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）已知的面积为，求边长的值. 18．（本题满分12分）如图，三棱锥中，平面，，，是的中点，是的中点，点在上，. （1）证明平面；
（2）若，求点到平面的距离. 19．（本题满分12分）2020年3月2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准，其中规定居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2020年1月1日到 2020年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下 组别 PM2.5浓度（微克/立方米） 频数（天） 第一组 （0，35] 32 第二组 （35，75] 64 第三组 （75，115] 16 第四组 115以上 8 （Ⅰ）在这120天中采用分层抽样的方法抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天 （Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 20.（本题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，求（为坐标原点）的面积取最大值时直线的方程. 21.（本题满分12分）已知函数，，． （Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）求证有且仅有一个零点． 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分． 22．（本题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值． 23．（本题满分10分）选修4-5不等式选讲 已知函数的最小值为3. （1）求的值；
（2）求证. 南宁三中2020届高三第二次模拟考试 数学试题（文科）参考答案 1．B【解析】由题得{x|0，1,2}，所以A∩B{0,1,2}.故选B. 2．C【解析】.故选 3．D【解析】根据题意，恰有一人晋级就是甲晋级乙没有晋级或甲没有晋级乙晋级， 则所求概率是故选D． 4．A【解析】由题意＝15，，∴． 故选A． 5．A【解析】对于．∵即，∴，正确；
对于．∵即，的正负不知道，则，大小也无法判断，错误；
对于．∵，，无法判断与的大小关系，错误；
对于．∵，，不知道，，，正负，无法判断与的大小关系，故选． 6．C【解析】执行程序有 n1，nn12，此时，2n4，n24，故有nn13， 此时2n8，n29，故有nn14， 此时2n16，n216，故有nn15， 此时2n32，n225，即满足2n＞n2故输出n的值5． 故选C． 7．A【解析】因为，所以， 则该切线的斜率， 则 .故选A． 8．B【解析】根据几何体的三视图，可知该几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，即这五个点都是棱长为的正方体的顶点，所以该几何体的外接球就是对应正方体的外接球，所以外接球的直径是正方体的对角线为，所以半径，从而求的球的体积为，故选B. 9．B【解析】平移后函数解析式为，令，则，．故选B． 10．A【解析】P为假，即“∀x∈R,x22axa0”为真， ∴△4a2−4a0⇒0a1.本题选择A选项. 11．B【解析】圆的标准方程为Mx2（y﹣a）2a2 （a＞0）， 则圆心为（0，a），半径Ra， 圆心到直线xy0的距离d， 圆Mx2y2﹣2ay0（a＞0）截直线xy0所得线段的长度是2， 则圆心为M（0，2），半径R2， 圆N（x﹣1）2（y﹣1）21的圆心为N（1，1），半径r1， 则MN， Rr3，R﹣r1， R﹣r＜MN＜Rr， 即两个圆相交． 故选B． 12．B【解析】因为，所以，令，则，再令 因为关于的方程有唯一实数解，所以，选B. 13．1【解析】， 向量与的夹角为，0 ，解得，故答案为. 14．2【解析】作出可行域如图所示，设，则表示可行域内的点与原点的距离的平方．由图知，所以． 故答案为2. 15．【解析】①，②，①②得，又∴数列 首项为1，公比为的等比数列，∴． 故结果为85；
16．【解析】取中点，中点，中点 则， 即为所求角，设，，得 17．【解析】（1）由已知得， 由正弦定理得， ∴， 又在中，， ∴ 所以 ∴. （２）由已知及正弦定理 又 SΔABC，∴，得 由余弦定理 得. 18．【解析】（Ⅰ）证明如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE//AC，GF//AB， 因为GE∩GFG，AC∩ABA，所以平面GEF//平面ABC， 所以EF//平面ABC． （Ⅱ）∵平面ABC，∴． 又 ∴平面PAB． 又∴， ∴． 记点P到平面BCD的距离为d，则∴， ∴， 所以，点P到平面BCD的距离为． 19.【解答】（Ⅰ）这120天中抽取30天，采取分层抽样， 抽样比k， 第一组抽取328天；
第二组抽取6416天；
第三组抽取164天；
第四组抽取82天 （Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2． 所以6天任取2天的情况有 AB，AC，AD，A1，A2， BC，BD，B1，B2，CD， C1，C2，D1，D2，12，共15种 记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有 A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种 所以，所求事件A的概率P（A） 20．【解析】（1）依题意得解得 ∴椭圆的方程为. （2）由消去整理得， 其中 设， 则，， ∴， 又原点到直线的距离. ∴， 令， 则， ∴当时，取得最大值，且，此时，即. ∴直线的方程为 ∴的面积取最大值时直线的方程为. 21.（Ⅰ）解依题意． 令，，则． 所以在区间上单调递减． 所以的最小值为． （Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，且，． 当时，在上单调递减． 因为，， 所以有且仅有一个零点． 当，即时，，即，在上单调递增． 因为，， 所以有且仅有一个零点． 当时，，， 所以存在，使得． ，，的变化情况如下表 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以在上单调递增，在上单调递减． 因为，，且， 所以，所以有且仅有一个零点． 综上所述，有且仅有一个零点． 22．【解析】（1）将方程消去参数得， ∴曲线的普通方程为， 将代入上式可得， ∴曲线的极坐标方程为． （2）设两点的极坐标方程分别为, 由消去得， 根据题意可得是方程的两根， ∴， ∴． 23．【解析】1 所以,即 2由，则原式等价为，即, 而,当且仅当，即时，“”成立， 故原不等式成立。