姜堰区2018～2019学年度第二学期期中调研试题 高 二 数 学（理） （考试时间120分钟 总分160分） 注意事项所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上） 1．从9道选择题与3道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有 ▲ ． 2．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取 ▲ 人. 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入元 第4题 3．执行如图所示的伪代码，最后输出的值为 ▲ ． 第3题 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为 ▲ ． 5．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为 ▲ ． 第7题 6．有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法共 ▲ 种．（用数字作答） 7.如图，圆和其内接正三角形，若在圆面上任意取一点，则 点恰好落在三角形外的概率为 ▲ ． 8.的展开式中的常数项为 ▲ . 第11题 9．袋中装有形状、大小都相同的 4只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球从中一次随机摸出 2只球，则这 2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 10．若， 则的值为 ▲ ． 11． 一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点出发,沿向 上或向右方向爬至点,记可能的爬行方法总数为, 则 ▲ ． 第13题 12． 已知,,点M在直线OC上运动，则的最小值为 ▲ ． 13． 在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为 ▲ ． 14．对于各数不相等的正整数组（i1, i2, , in），（n是不小于2的正整数），如果在pq时有，则称ip和iq是该数组的一个“好序”，一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”，例如，数组（1, 3, 4, 2）中有好序“1, 3”，“1, 4”，“1, 2”，“3, 4”，其“好序数”等于4. 若各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3，则（a7，a6, a5, a4, a3, a2, a1）的“好序数”是 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15．本题满分14分 从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问 （1）如果科普书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法（各问用数字作答） （2）如果科普书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法 （3）如果选出的4本书中至少有3本科普书，共有多少种不同的送法 16．本题满分14分 在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法 （2）四名男生相邻有多少种不同的排法 （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法 （4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法（甲乙丙三位同学身高互不相等） 17．本题满分14分 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点． 第17题 （1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分16分） 如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为线段中点，. （1）求直线与所成角的正弦值；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值． M A B C D O P 第18题 19． 本题满分16分 已知. （1）若，求及的值；
（2）若，求最大的系数；
（3）定义，若化简. 20．本题满分16分 设，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加和记为a，较小元素之和记为b. 1当n3时,求a, b的值；
2当n4时,求集合的所有3个元素子集中所有元素之和; 3对任意的，是否为定值若是定值，请给出证明并求出这个定值；
若不是，请说明理由. 姜堰区2018～2019学年度第二学期期中调研试题评分标准 高 二 数 学（理） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上） 1. 12 2. 220 3. 14 4. 700 5. 6. 24 7. 8. 2 9. 10. 16 11. 21 12. 13. 588 14. 18 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15.（本小题14分） 解（1）从5本故事书中选2本有种选法，从4数学书中选2本有种选法，再把4本书给4位同学有种， 所以科普书和数学书各选2本，共有种不同的送法.-- ----------4分 （2）因为科普书甲和数学书乙必须送出，所以再从其余7本书选2本有种，再把4本书给4位同学有种，所以共有种不同的送法.--------------9分 （3）选出4本故事书有种，选出3本故事书有种，再把4本书给4位同学有种，所以至少有3本科普书的送法为种.------------14分 16.（本小题14分） 解（1）先排4个男生有种，再把3个女生插人两个男生之间或两端有种，所以三个女生互不相邻的排法为1440---------------3分 （2）4个男生作为一个整体与3个女生有种排法，男生之间有种排法，所以四名男生相邻有种排法-------------------------6分 （3）法一、女生乙站在左端有种，女生乙不站在左端，且女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端有种，所以女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有种不同的排法.-------------------------10分 法二、7个人有种排法，女生甲在左端有种，女生乙在右端有种，女生甲在左端同时女生乙在右端有种，所以女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有种不同的排法.-------------------------10分 （4）法一、7个人有种排法，甲乙丙三人有种，其中只有一种符合从高到低排列，所以甲乙丙三人按高低从左到右有种不同的排法.----------------------14分 法二、先从7个位置中选3个位置有种，甲乙丙三人去站，只有一种，其余4个人站4个位置有种，所以甲乙丙三人按高低从左到右有种不同的排法.---14分 17. （本小题14分） 解在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系． 因为，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.-----------------------------5分 2，设平面的一个法向量为． 则，得，取，得，， 故平面的一个法向量为．--------------------9分 于是，--------12分 所以直线与平面所成角的正弦值为．--------------14分 18. （本小题16分） 解（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直线 分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则,,,,,． M A B C D O P 第18题 x y z 所以，，， ，． 则3分 故直线与所成角的余弦值为. 5分 直线与所成角的正弦值为.7分 （2），．． 设平面的一个法向量为， 则，得，令，得，． 得平面的一个法向量为．9分 又, 设平面的一个法向量为， 得，令，得，． 得平面的一个法向量为．11分 所以，，． 则.13分 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 16分 19．本题满分16分 解（1）若，， 令,则，------------------------------------1分 令，则 所以.-------------------------------------3分 （2）若，其通项公式为，由不等式------------------------5分 解得，且，∴.--------------------------------7分 所以.-------------------------------9分 （3）若-----------------------10分 ,----------------12分 ----------------14分 ----------------16分 20.（1）集合的所有2元子集为，，， 较大元素分别为2，3，3，所以；
较小元素分别为1，1，2，所以.---------------------------------------4分 （2）含有元素1的子集有个，同理含有2,3,4的子集也有个，于是所求元素之和为;-------------------------------------8分 3是为定值------------------9分 定值为------------------10分 法1当n≥4，n∈N*， -----------------12分 --------------14分 所以，.--------------16分 法2集合时，在其2元子集中，含n的有n-1个；
含n-1且n-1较大的有n-2个；
；
含2且2较大的有1个，所以----8分 ，-------------------------------------------10分 集合时，在其2元子集中，含1的有n-1个；
含2且2较小的有n-2个；
；
含n-1且n-1较小的有1个，所以-----------------------13分 所以.--------------------------------------------------------------------16分 - 10 -