玉溪一中2020学年上学期高二年级期末
考试 文科数学 第I卷 一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可. 【详解】由A中不等式可得，即， 所以， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目. 2.若实数，满足约束条件，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题意，画出约束条件对应的可行域，分析目标函数的类型，确定最优解，解方程组求得最优解的坐标，代入求得最大值. 【详解】由题意画出可行域如图所示 由可得，画出直线， 上下移动的过程中，可以发现当直线过点A时取得最小值， 解方程组，得， 此时， 故答案是.故选D. 【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有约束条件对应可行域的画法，线性目标函数可转化为截距来解决，属于简单题目. 3.下列命题中，真命题是（ ） A. B. C. 的充要条件是 D. 是的充分条件 【答案】D 【解析】 A根据指数函数的性质可知 恒成立，所以A错误． B当 时， ，所以B错误． C若 时，满足 ，但 不成立，所以C错误． D 则 ，由充分必要条件的定义，，是 的充分条件，则D正确． 故选D． 【此处有视频，请去附件查看】 4.有线性相关关系的变量有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先计算，代入回归直线方程，可得，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 代入回归直线方程可求得， 所以， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目. 5.若数列是递增的等比数列，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据数列是等比数列，得到，结合，从而得到是方程的两个根，再根据是递增数列，确定，再根据等比数列的性质，得到，求得结果. 【详解】因为数列是等比数列，所以， 又因为，所以是方程的两个根， 因为数列是递增数列，所以， 所以有， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 6.函数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用分段函数化简求解函数值即可得结果. 【详解】因为函数， 则， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关分段函数求函数值的问题，在解题的过程中，注意判断自变量所属的区间，从而正确代入相关的函数解析式. 7.函数（）的图象向右平移个单位以后，到的图像，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数图象的平移变换法则，可求出平移后函数的解析式，进而根据诱导公式，得到所满足的条件，再结合的范围，确定出最后的结果. 【详解】把函数的图象向右平移个单位后得到 ， 所以有，即， 因为，所以， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数图象的变换，涉及到的知识点有图象的左右平移，诱导公式，数量掌握基础知识是正确解题的关键. 8.是直线上任意一点，点在圆上运动，则的最小值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出圆心到直线的距离与半径比较大小，得到直线与圆是相离的，根据圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减半径，求得结果. 【详解】因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆是相离的， 所以的最小值等于圆心到直线的距离减去半径， 即， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于简单题目. 9.已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
试题分析由得．所以所求概率为,故选B. 考点几何概型. 10.若曲线在点0, b处的切线方程是, 则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解析∵，∴，在切线，∴ 11.已知点到双曲线（）渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据双曲线的方程写出双曲线的一条渐近线方程，化成一般式，根据题意，利用点到直线的距离公式求得，化简得出，从而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的一条渐近线是，即， 由点到双曲线的距离为， 可得，即，所以， 所以，所以， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线，点到直线的距离公式，双曲线中的关系，属于简单题目. 12.设，，，是球面上四点，已知，，球的表面积为，则四面体的体积的最大值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，确定出是以为斜边的等腰直角三角形，从而求得的外接圆的半径为，再根据球的表面积求得球的半径，从而求得球心到截面的距离，再利用三棱锥的体积公式分析得出四面体的体积取最大值时顶点的位置，从而求得结果. 【详解】根据条件，可得， 所以是以为斜边的等腰直角三角形， 所以的外接圆的半径为， 又因为球的表面积为，所以有，解得， 从而能够求得球心到截面ABC的距离为， 此时四面体的底面的面积为， 可以确定点D到底面ABC的距离的最大值为， 所以四面体的体积的最大值为， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关球内接三棱锥的体积的最值的问题，涉及到的知识点有直角三角形的外接圆的半径，球的表面积公式，球中的特殊直角三角形，椎体的体积公式，属于中档题目. 第II卷 二、填空题本题共4小题，每小题5分. 13.已知向量，，．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先由的坐标，利用向量的坐标运算可得，接下来由向量平行的坐标运算可得，求解即可得结果. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，解得， 即答案为. 【点睛】该题是一道关于向量平行的题目，关键是掌握向量平行的条件. 14.【2020年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 【答案】分层抽样. 【解析】 分析由题可知满足分层抽样特点 详解由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样 故答案为分层抽样。
点睛本题主要考查简单随机抽样，属于基础题。
15.阅读如图所示的程序框图，若，，，则输出的结果是________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先分析程序框图的作用是输出三个数中的最大值，从而比较三个数的大小，求得结果. 【详解】根据题中所给的程序框图，可以判断出其作用是输出三者中的最大出那个数， 因为，而， 所以其最大值是， 故答案是. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的求解问题，属于简单题目. 16.已知函数，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的函数解析式，求得，从而求得. 【详解】因为， 所以，从而得到， 故答案是. 【点睛】该题考查的是有关利用函数解析式求函数值的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，属于简单题目. 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.的内角的对边分别为,已知. （1）求；
（2）若的面积为，，求. 【答案】（1）（2）2 【解析】 【分析】 （1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，再利用倍角公式化简，从而求得，之后借助于倍角公式和同角三角函数关系式，求得的值；
（2）由（1）可知，利用面积公式求得，再利用余弦定理即可求得. 【详解】（1）由及题设得，故 所以 （2）由得，又，可得 由余弦定理及得 故 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 18.经销商销售某种产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元；
未售出的产品，每亏损元．根据以往的销售记录，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了该产品．用单位,表示下一个销售季度内的市场需求量，单位元表示下一个销售季度内经销该产品的利润． 1将表示为的函数；
2根据直方图估计利润不少于元的概率． 【答案】（1）（2）0.9 【解析】 【分析】 （1）由题意先分段写出，当时，当时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可；
（2）利用（1）求出利润不少于32000元时，再利用频率分布直方图求得的频率为，利用样本估计总体的方法得出利润y不少于32000的概率估计值. 【详解】（1）由题意得，当时，当时故函数为 （2）由（1）知利润不少于元相当于， 由直方图可知需求量在之间的频率为， 所以下一个销售季度经销利润不少于元的概率估计值为 【点睛】该题考查的是有关频率分布直方图的问题，涉及到的知识点有应用分段函数解决实际问题，利用频率分布直方图估计对应事件的概率，属于简单题目. 19.已知数列，是该数列的前项和，. （1）求数列的通项公式；
（2）设，已为，证明. 【答案】（1）（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据数列的项与和的关系，求得的通项公式；
（2）利用（1）求得，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）易知 当时，由 ，时也成立，得 （2）由可得 因为，所以 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用数列的项与和的关系求通项，利用裂项相消法求和，属于简单题目. 20.四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于、的平面分别交四面体的棱、、于点、、． （1）求证四边形是矩形；
（2）求点到面的距离． 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得到四边形为平行四边形，再由线面垂直的判定和性质得到，结合异面直线所成角的概念得到，从而证得结论；
（2）利用线面平行时，直线上的点到平面的距离是相等的，将点到面的距离转化为点D到面的距离，求解即可. 【详解】（1）证明由,同理可得 所以 由，同理可得 所以 所以四边形是平行四边形 由三视图可知，所以,又 所以,所以四边形是矩形 （2）易知点到面的距离即点到面的距离， 由 所以点到面的距离即点到线的距离 由（1）和是的中点可知、分别是、的中点， 又由三视图可知是等腰直角三角形， 易得点到线的距离为，即点到面的距离 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的