2020届高考数学一轮复习讲解与练习 3.8解三角形应用举例理 新人教A版 [备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.考查正、余弦定理在解决与角度、方向、距离及测量等问题有关的实际问题中的应用．2.考查方式既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题. [归纳知识整合] 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际应用中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是0，360方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北南偏东西度例1北偏东m 2南偏西n坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan α坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比[探究] 1.仰角、俯角、方位角有什么区别 提示三者的参照不同．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． 2．如何用方位角、方向角确定一点的位置 提示利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置． [自测牛刀小试] 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为 A．αβ B．α＝β C．α＋β＝90 D．α＋β＝180 解析选B 根据仰角和俯角的定义可知α＝β. 2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的 A．北偏东10 B．北偏西10 C．南偏东80 D．南偏西80 解析选D 由条件及图可知，A＝B＝40，又BCD＝60，所以CBD＝30，所以DBA＝10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80. 3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是 A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解析选A 选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似． 4．教材习题改编海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC＝60，ABC＝75，则B，C间的距离是________海里． 解析由正弦定理，知＝. 解得BC＝5海里． 答案5 5．教材习题改编如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD的视角CAD为45，则这座电视发射塔的高度CD为________m. 解析AB＝＝84， tanCAB＝＝＝.由＝tan45＋CAB＝＝得CD＝169. 答案169 测量距离问题 [例1] 隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，同时，测得ACB＝75，BCD＝45，ADC＝30，ADB＝45A、B、C、D在同一平面内，求两目标A、B之间的距离． [自主解答] 如图，在ACD中，ACD＝120， CAD＝ADC＝30，所以AC＝CD＝. 在BCD中，BCD＝45，BDC＝75，CBD＝60，由正弦定理知BC＝＝. 在ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosACB＝2＋2－2cos 75＝3＋2＋－＝5，所以AB＝ km， 所以A，B两目标之间的距离为 km. 若将本例中A、B两点放到河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB＝45，CAB＝105后，求A、B两点间的距离． 解由正弦定理，得＝， 故AB＝＝＝50 m. 即A、B两点间的距离为50 m． 求距离问题的注意事项 1选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；
若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． 2确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 1．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB＝75，CBA＝45，且AB＝100 m．求该河段的宽度． 解CAB＝75，CBA＝45， ACB＝180－CAB－CBA＝60. 由正弦定理得＝， BC＝. 如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度． 在RtBDC中， BCD＝CBA＝45，sinBCD＝， BD＝BCsin 45＝sin 45＝＝ m， 该河段的宽度为 m. 测量高度问题 [例2] 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高． [自主解答] 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时DBF＝45.过点B作BECD于E，则AEB＝30. 在BCD中，CD＝40， BCD＝30，DBC＝135， 由正弦定理，得＝， 则BD＝＝20. BDE＝180－135－30＝15. 在RtBED中， BE＝DB sin 15＝20＝10－1． 在RtABE中，AEB＝30， 则AB＝BEtan 30＝3－． 故塔高为3－ m. 处理高度问题的注意事项 1在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角是一个关键． 2在实际问题中，可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合． 2．如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB＝20 m，求山高CD. 解如图，设CD＝x m， 则AE＝x－20 m，tan 60＝， 则BD＝＝＝x m. 在AEC中，x－20＝x， 解得x＝103＋ m， 故山高CD为103＋ m.测量角度问题 [例3] 如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处－1海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜．问缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船并求出所需时间． [自主解答] 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获在D点走私船，则CD＝10 t海里，BD＝10 t海里， 在ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos A ＝－12＋22－2－12cos 120＝6. 解得BC＝. 又＝， sin∠ABC＝＝＝， ABC＝45，B点在C点的正东方向上， CBD＝90＋30＝120， 在BCD中，由正弦定理，得＝， sin∠BCD＝＝＝. BCD＝30，缉私船沿北偏东60的方向行驶． 又在BCD中，CBD＝120，BCD＝30， D＝30，BD＝BC，即10t＝. t＝小时≈15分钟． 缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 解决测量角度问题的注意事项 1首先应明确方位角的含义． 2分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步． 3将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． 3．如图，位于A处的信息中心获悉在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值． 解如题中图所示，在ABC中，AB＝40，AC＝20，BAC＝120，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800BC＝20. 由正弦定理得，＝sin∠ACB＝sinBAC＝. 由BAC＝120，知ACB为锐角，则cosACB＝. 由θ＝ACB＋30， 得cos θ＝cosACB＋30＝cosACBcos 30－sinACBsin 30＝. 1个步骤解三角形应用题的一般步骤 2种情形解三角形应用题的两种情形 1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． 2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程组，解方程组得出所要求的解． 2个注意点解三角形应用题应注意的问题 1画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． 2解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据原始数据，少用间接求出的量. 创新交汇数形结合思想在解三角形中的应用 三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正余弦定理、正余弦函数等知识为核心，以测量、航海、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考应用题的热点题型．求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解． [典例] 2020广州模拟在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A的北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A的北偏东45＋θ其中sin θ＝，0＜θ＜90且与点A相距10海里的位置C. 1求该船的行驶速度单位海里/时；
2若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． [解] 如图所示，AB＝40，AC＝10，BAC＝θ，sin θ＝.因为0＜θ＜90，所以cos θ＝＝. BC＝＝10. 所以船的行驶速度为＝15海里/时． 2法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是Bx1，y1，Cx2，y2，BC与x轴的交点为D. 由题设，得x1＝y1＝AB＝40， x2＝ACcosCAD＝10cos45－θ＝30， y2＝ACsinCAD＝10 sin45－θ＝20. 所以过点B，C的直线l的斜率k＝＝2， 直线l的方程为y＝2x－40. 又点E0，－55到直线l的距离d＝＝3＜7， 所以船会进入警戒水域． 法二如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在ABC中，由余弦定理，得cosABC＝＝＝. 所以sinABC＝＝ ＝. 在ABQ中，由正