复数重点问题精析 从近两年新教材考卷的试题看，复数部分的考查重点是复数的有关概念，复数的代数形式运算．复数的有关概念大复数运算、复数应用的基础，高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模长．非新教材卷在复数的三角形式及其运算是高考考查重点，一般都是求复数的三角形式，求复数的模与辐角主值 复数的试题难度都不大，均在“易”或“较易”的层次，相当数量的基本题源于教材，即使是综合题也是基础知识的组合、加工和发展．复数部分在高考中考查的难度和题量多呈下降趋势，要注意理科对这部分的考查，并以考查复数的基本概念和基本运算为主． 一、高考热点透析 1．在关于复数的高考复习中，应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模长等．应重视数形结合的思想方法在解题中的应用，复数的重点是有关复数的代数形式的运算问题． 2．复数有关问题一可以转化为实数范围内的代数问题，二可以转化成平面几何问题．在复习过程中，要充分利用相关知识，实现问题的转化． 3．根据前几年高考命题趋势，以及新教材对复数的要求，预计近些年高考对复数试题的考查要求仍然很低，很有可能不会有考查复数内容的试题，如果有的话，试题的难度也仅与教材相当，不会出现偏难题，估计还以课本的习题改编成的选择题形式命题，重在考查基本概念和基本运算，试题活而不难． 二、典型问题解析 例1 已知复数z满足等式z－3 1 3，求z． 解设z a b a，b∈R，则已知等式可化为a ba－b－3a－b 1 3， 即a b－3b－3a 1 3． 根据两复数相等的条件，得 或 所求复数为z －1或z －1 3． 评析由于所求复数可以看作求实部和虚部两个基本量，因此，设出代数形式，利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想． 例2 已知若z、 z是非零复数，且|z z| | z－z|，求证是纯虚数． 证明由|z z| | z－z|两边平方得|z z| | z－z|， 即z z z－z，整理得 z －z，而z、 z是非零复数，故有－，而≠0，由命题二，知为纯虚数．z∈Rz ． 评析在解复数问题时，若注意到命题z∈Rz ，对提高解题能力是大有益处的． 例3 已知x a a∈R，若z x－| x | 1－对应的点在第二象限，求a的取值范围． 解∵2a 1≥0，∴a≥－，∴| x | | a 1 | a 1， ∴z x－| x | 1－ －a a－1， ∵z对应的点在第二象限， ∴a＞1 ． 故a的取值范围是a＞1 ． 评析掌握复数与复平面内点之间的一一对应关系是建立不等式的关键． 例4 设z是虚数，p z 是实数，且－1＜p＜2， ⑴求| z |的值及z的实部的取值范围；
⑵设u ，求证u 为纯虚数；
⑶求p－u的最小值． 解⑴设 z a b a，b∈R，b≠0， p z a b a b－， ∵p是实数，b≠0，∴ 1，即| z | 1，此时p 2a． ∵－1＜p＜2，∴ z的实部的取值范围是－，1． ⑵u －． ∵－＜a＜1，b≠0，∴u 为纯虚数． ⑶p－u 2a 2a 2a 2a－1 2[a 1 ]－3， ∵－＜a＜1，∴a 1＞0， ∴p－u≥22－3 1． 当a 1 ，即a 0时，上式等号成立，所以p－u的最小值是1． 评析本题通过设z a b a，b∈R，b≠0，将复数问题转化为实数问题，然后利用复数的基本概念把问题解决． 3