一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法 知识讲解（基础） 【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式． ①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤 ①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根. 要点诠释 （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点①必须将方程的右边化为0；
②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】 类型一、公式法解一元二次方程 1.用公式法解下列方程． 1 x23x10；
2；
3 2x23x-10． 【答案与解析】 1 a1，b3，c1 ∴x． ∴x1，x2． 2原方程化为一般形式，得． ∵，，， ∴． ∴，即，． 3 ∵a2，b3，c﹣1 ∴b2﹣4ac17＞0 ∴x ∴x1，x2． 【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是1把方程化为一元二次方程的一般形式；
2确定a，b，c的值并计算的值；
3若是非负数，用公式法求解． 举一反三 【变式】用公式法解方程（2014武汉模拟）x2﹣3x﹣20． 【答案】解∵a1，b﹣3，c﹣2；
∴b2﹣4ac（﹣3）2﹣41（﹣2）9817；
∴x ， ∴x1，x2． 2．用公式法解下列方程 1 （2014武汉模拟）2x2x2；
2 （2014秋开县期末）3x2﹣6x﹣20 ；
（3）（2015黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣70． 【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可. 【答案与解析】 解1∵2x2x﹣20， ∴a2，b1，c﹣2， ∴x， ∴x1，x2． 2 ∵a3，b﹣6，c﹣2， ∴b2﹣4ac362460＞0， ∴x， ∴x1，x2 （3）∵a1，b﹣3，b﹣7． ∴b2﹣4ac92837. x ， 解得 x1，x2． 【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三 【变式】用公式法解下列方程 ；
【答案】解移项，得． ∵ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 类型二、因式分解法解一元二次方程 3．用因式分解法解下列方程 13x22＝2x2；
22x32-25＝0；
（3）x（2x1）8x﹣3． 【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x2）,化简成3（x2）2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】 1移项．得3x22-2x2＝0，x23x6-2＝0． ∴ x2＝0或3x4＝0， ∴ x1＝-2，． 22x3-52x35＝0， ∴ 2x-2＝0或2x8＝0， ∴ x1＝1，x2＝-4． （3）去括号，得2x2x8x﹣3， 移项，得2x2x﹣8x30 合并同类项，得2x2﹣7x30， ∴（2x﹣1）（x﹣3）0， ∴2x﹣10或 x﹣30， ∴，x23． 【总结升华】1中方程求解时，不能两边同时除以x2，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．2可用平方差公式分解． 4．解下列一元二次方程 12x1242x14＝0；
2． 【答案与解析】 12x1242x14＝0， 2x122＝0． 即， ∴ ． 2 移项，得3x-1x-1-4x1x-1＝0， 即x-1x2＝0， 所以，． 【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 1可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根． 举一反三 【变式】（1）（x8）2-5x860 （2） 【答案】（1）（x8-2）x8-30 x6x50 X1-6,x2-5. 23x2x1-22x10 2x13x-20 . 5．探究下表中的奥秘，并完成填空 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x2﹣2x10 x11，x21 x2﹣2x1（x﹣1）（x﹣1） x2﹣3x20 x11，x22 x2﹣3x2（x﹣1）（x﹣2） 3x2x﹣20 x1，x2﹣1 3x2x﹣23（x﹣）（x1） 2x25x20 x1﹣，x2﹣2 2x25x22（x）（x2） 4x213x30 x1 ，x2 4x213x34（x ）（x ） 将你发现的结论一般化，并写出来． 【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空﹣，﹣3；
4x213x34（x）（x3）． 发现的一般结论为若一元二次方程ax2bxc0的两个根为x1、x2，则 ax2bxca（x﹣x1）（x﹣x2）． 【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程因式分解法．