2020高考数学人教A版课后作业 1.2020舟山期末某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为 A. B．2 C．2或 D．3 [答案] C [解析] 如图，△ABC中，AC＝，BC＝3，∠ABC＝30， 由余弦定理得， AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC， ∴3＝x2＋9－6xcos30，∴x＝或2. 2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是 A．20m B．20m C．201＋m D．30m [答案] A [解析] 如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB＝20m，所以BM＝20m. 又在Rt△AMD中， DM＝20m，∠ADM＝30， ∴AM＝DMtan30＝m， ∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20m. 3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60西，另一灯塔在船的南75西，则这艘船的速度是每小时 A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 [答案] C [解析] 如图，依题意有∠BAC＝60，∠BAD＝75，所以∠CAD＝∠CDA＝15，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是＝10海里/小时． 4．文2020广东六校两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为 km. A．a B.a C．2a D.a [答案] D [解析] 依题意得∠ACB＝120. 由余弦定理 cos120＝ ∴AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120 ＝a2＋a2－2a2＝3a2 ∴AB＝a.故选D. 理2020北师大附中模拟一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是 A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 [答案] A [解析] 如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30，∠ABC＝105，AB＝20，∠ACB＝45， 由正弦定理得＝， ∴BC＝10，故选A. 5．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为________m． A．237 B．227 C．247 D．257 [答案] A [解析] 如图，∠D＝45，∠ACB＝60，DC＝100，∠DAC＝15， ∵AC＝， ∴AB＝ACsin60 ＝ ＝≈237.∴选A. 6．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为________km. [答案] 30 [解析] 如图，依题意有AB＝154＝60，∠MAB＝30，∠AMB＝45，在三角形AMB中，由正弦定理得＝， 解得BM＝30km. 1.2020沧州模拟有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为 A．1 B．2sin10 C．2cos10 D．cos20 [答案] C [解析] 如图，BD＝1，∠DBC＝20，∠DAC＝10， 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴AD＝2cos10. 2．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距 A．10m B．100m C．20m D．30m [答案] A [解析] 设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠BAD＝45，∠CAD＝30，∠BDC＝30，AD＝30，∴DB＝30，DC＝10，BC2＝DB2＋DC2－2DBDCcos30＝300， ∴BC＝10. 3. 如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x＝________. [答案] [解析] 由题知，∠CBA＝75，∠BCA＝45，∴∠BAC＝180－75－45＝60，∴＝，∴x＝. 4．2020洛阳部分重点中学教学检测在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30，则tan∠OPQ的值为________． [答案] [解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得＝，在△ORQ中，＝，两式两边同时相除得＝tan∠OPQ＝. 5．2020东北三校二模港口A北偏东30方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远 [解析] 在△BDC中，由余弦定理知， cos∠CDB＝＝－， ∴sin∠CDB＝. ∴sin∠ACD＝sin∠CDB－ ＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝. 在△ACD中，由正弦定理知＝ ⇒AD＝21＝15. ∴此时轮船距港口还有15海里． 6. 2020郑州一测某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A、B两地相距100米，∠BAC＝60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．A地测得该仪器在C处时的俯角为15，A地测得最高点H的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.声音的传播速度为340米/秒 [解析] 由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－340＝x－40， 在△ABC内，由余弦定理|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA||CA|cos∠BAC， 即x－402＝x2＋10000－100 x，解得x＝420. 在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30＋15＝45，∠CHA＝90－30＝60， 由正弦定理＝， 可得|CH|＝|AC|＝140. 答该仪器的垂直弹射高度CH为140米． 7．2020茂名期末在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. 1若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
2若sinC＋sinB－A＝sin2A，试判断△ABC的形状． [解析] 1∵c＝2，C＝， ∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC 得a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC的面积为，∴absinC＝，∴ab＝4. 联立方程组解得a＝2，b＝2. 2由sinC＋sinB－A＝sin2A， 得sinA＋B＋sinB－A＝2sinAcosA， 即2sinBcosA＝2sinAcosA， ∴cosAsinA－sinB＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0， 当cosA＝0时，∵0Aπ， ∴A＝，△ABC为直角三角形；
当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b， 即△ABC为等腰三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 8. 如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险 [解析] 在△ABC中，BC＝30， B＝30，∠ACB＝135， ∴∠BAC＝15. 由正弦定理知＝， 即＝. AC＝＝60cos15＝60cos45－30 ＝60cos45cos30＋sin45sin30＝15＋海里． 于是，A到BC所在直线的距离为 ACsin45＝15＋＝15＋1≈40.98海里． 它大于38海里，所以船继续向南航行，没有触礁的危险． 1．2020浙江金华十校模考在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30，俯角30的B处沿直线行驶，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60，俯角60的C处，则轮船航行速度是________千米/小时． [答案] 2 [解析] 如图，∵B在岛的北偏东30，C在岛的北偏西60，∴∠BAC＝90，∵B点俯角30，∴∠APB＝60，∵C点俯角60，∴∠APC＝30，又AP＝1，∴AB＝，AC＝，∴BC＝＝，又从B到C行驶了10分＝小时，∴船航行速度为每小时6＝2km. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S＝b2＋c2－a2，若a＝10，则bc的最大值是______． [答案] 100＋50 [解析] 由题意得，bcsinA＝b2＋c2－a2， ∴a2＝b2＋c2－2bcsinA，结合余弦定理得，sinA＝cosA， ∴∠A＝，又根据余弦定理得100＝b2＋c2－bc≥ 2bc－bc，∴bc≤＝100＋50. 3．2020重庆文设△ABC的内角A、B、C对边长分别为a、b、c且3b2＋3c2－3a2＝4bc. 1求 sin A的值 2求的值． [解析] 1由余弦定理得cosA＝＝， 又0Aπ，故sinA＝＝. 2原式＝ ＝ ＝ ＝＝－. 4．在△ABC中，tanA＝，tanB＝. 1求角C的大小；
2若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长． [解析] 1∵C＝π－A＋B， ∴tanC＝－tanA＋B＝－＝－1. 又∵0Cπ，∴C＝. 2∵C＝，∴AB边最大，即AB＝. 又∵tanAtanB，A、B∈， ∴角A最小，BC边为最小边． 由，且A∈，得sinA＝. 由＝得，BC＝AB＝. 所以，最小边BC＝. 5．2020广东玉湖中学如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10km，AB＝14km，∠BAD＝60，∠BCD＝135，求两景点B与C的距离精确到0.1km．参考数据＝1.414，＝1.732，＝2.236. [解析] 在△ABD中，设BD＝x， 则BA2＝BD2＋AD2－2BDADcos∠BDA， 即142＝x2＋102－210 xcos60， 整理得x2－10 x－96＝0， 解之得，x1＝16，x2＝－6舍去， 由正弦定理得， ＝， ∴BC＝sin30＝8≈11.3km 答两景点B与C的距离约为11.3km. 6. 如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛